С. А. Бахаев родился в селе Двуречки Грязинского района Липецкой области. После окончания школы ФЗУ при Новолипецком металлургическом заводе окончил Липецкий аэроклуб.
В январе 1941 года призван в армию направлен в Краснодарскую военную авиационную школу пилотов. С 1943 года Бахаев служил в 515-м истребительном авиационном полку до конца войны, участвовал в освобождении Украины и в боях на территории Польши и Германии.
За время Великой Отечественной войны старший лейтенант Бахаев сделал 112 боевых вылетов, принимал участие в 28 воздушных боях, сбил 13 самолётов врага.
После войны С. А. Бахаев продолжил службу в авиации. С мая 1951 года участвовал в боевых действиях в Корее, совершил 70 боевых вылетов, сбил 11 самолётов противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 ноября 1951 года за мужество и отвагу, проявленные при исполнении интернационального воинского долга Степану Антоновичу Бахаеву было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После окончания корейской командировки С. А. Бахаев продолжал службу в составе 523-го истребительного авиаполка на Дальнем Востоке.
26 апреля 1959 года лётчик попал в аварию, вынужден был катапультироваться, получив при этом травму позвоночника. После этого Бахаеву пришлось уйти в отставку. Проживал в городе Богодухов Харьковской области, где скончался 5 июля 1995 года.