Родился Александр Алексеевич Филатов в 1895 году, в фабричном местечке Садки Коломенского уезда Московской губернии в семье инженера-механика. Закончил 2-ю Московскую гимназию.
Первая мировая войнаВ мае 1916 года был призван в армию, в 1916 году окончил учебную команду при запасном кавалерийском полку, в 1917 году - Тверское кавалерийское юнкерское училище, участвовал в Первой мировой войне старшим унтер-офицером, командовал взводом на Румынском фронте.
Гражданская войнаВ октябре 1917 года вступил в Красную Гвардию, участвовал в первых боях Красной Армии под Псковом и Нарвой. В 1918 году вступил в РККА, участвовал в Гражданской войне в 1918-1920 годах, командовал взводом, затем ротой на Западном фронте.
Между войнамиПосле окончания Гражданской войны А. А. Филатов служил в Белорусском военном округе: командир взвода, помощник начальника, затем начальник штаба полка в пограничных войсках округа. В 1928 году вступил в ВКП(б). В 1931 году окончил Кавалерийские КУКС и был назначен начальником оперативного отдела штаба 7-й кавалерийской дивизии (до 14 декабря 1932 года), с июня 1938 года - начальник штаба 7-й кавалерийской дивизии, в 1939 году окончил Высшие Академические Курсы при Академии Генштаба, с 16 июля 1939 года - командир 15-й кавалерийской дивизии, с 14 марта 1941 года - командир 46-й стрелковой дивизии Забайкальского военного округа.
Великая Отечественная войнаВ начале Великой Отечественной войны А. А. Филатов на той же должности. В конце июня 1941 года дивизия передислоцировалась на западную границу СССР, в июле 1941 года 46-я стрелковая дивизия вошла в состав 16-й армии Западного фронта, участвовала в Смоленском сражении. А. И. Еремёнко вспоминал:
«Командир 46-й стрелковой дивизии генерал-майор А. А. Филатов в смоленских боях показал себя также способным командиром, достойно выполнявшим свой долг. Дивизия без артиллерии и почти без пулеметов упорно дралась на северо-восточных подступах Смоленска и внесла свой вклад в героическую эпопею Смоленского сражения.»
- Еременко А.И. В начале войны.
В боях дивизия понесла большие потери, в ней осталось две-три сотни человек. Официально А. А. Филатов командовал дивизией до 27 августа 1941 года. 19 сентября 1941 года дивизия была расформирована. В августе 1941 года А. А. Филатов был назначен командиром 129-й стрелковой дивизии 16-й армии, тоже обескровленной после Смоленского сражения, вскоре и она была расформирована.
С 24 октября 1941 года по 11 января 1942 года А. А. Филатов - вр. и.д. начальника штаба 5-й армии Западного фронта, участвовал в битве под Москвой. С января 1942 года - вр. и.д. начальника оперативного отдела штаба Закавказского фронта,
С 15 мая по 22 июля 1942 года А. А. Филатов - командир 417-й стрелковой дивизии 37-й армии, Закавказского фронта. С июля 1942 года - заместитель командующего 45-й армии Закавказского фронта,
С 9 января 1943 года по 6 апреля 1943 года А. А. Филатов - командир 295-й стрелковой дивизии 37-й армии, участвовал в Северо-Кавказской операции. С 21 июля по 13 августа 1943 года - командир 37-й армии Закавказского фронта. В этот период полевое управление армии находилось в резерве СВГК.
С августа 1943 года А. А. Филатов - для особых поручений при первом заместителе наркома обороны СССР Г. К. Жукове.
С апреля 1945 года А. А. Филатов - заместитель командира 3-й ударной армии 1-го Белорусского фронта, участвовал в Берлинской наступательной операции. 24 апреля 1945 года в уличных боях был ранен командир 12-го гвардейского стрелкового корпуса 3-й ударной армии А. Ф. Казанкин, А. А. Филатов вступил в командование корпусом, продолжив участие в Берлинской операции. Корпусом он командовал до 9 мая 1945 года.
После войныПосле Победы А. А. Филатов был назначен заместителем начальника Управления по репатриации ГСОВГ. В 1947 году вышел в отставку.
Умер Александр Алексеевич Филатов в 1956 году в Москве, похоронен на Ваганьковском кладбище.