Лизоркин Пётр Иванович (The Lizorkin Peter Ivanovich).

Лизоркин, Пётр Иванович (3 апреля 1922 - 20 сентября 1993) - советский математик, профессор, создатель теории пространств Лизоркина - Трибеля.

Уроженец города Сасово Рязанской области, П. И. Лизоркин детство и юношеские годы прожил в селе Елатьме на Оке. После окончания средней школы он поступил на физико-математический факультет Воронежского Государственного Университета. Однако в 1940 году с первого курса Петр Иванович был призван в армию и направлен в Харьковское Военно-авиационное училище. Во время войны училище эвакуируется в г. Красноярск. Окончив училище в 1942 г. и пройдя дополнительную подготовку в Высшей школе штурманов и при летном центре Авиации дальнего действия в г. Рыбинске, с 1943 г. П. И. Лизоркин служил на фронте в действующей армии. В качестве штурмана Авиации дальнего действия он сделал 120 успешных боевых вылетов в тыл врага и был награжден тремя орденами.

В мае 1944 года самолёт, в экипаже которого состоял П. И. Лизоркин, был сбит в глубоком тылу врага. Целый год Петр Иванович провёл в немецких лагерях для военнопленных, затем, будучи освобожденным из плена незадолго до конца войны, прошел длительную госпроверку и лишь в декабре 1945 года был демобилизован из армии.

В феврале 1946 года П. И. Лизоркин поступил на инженерно-физический факультет Московского Механического института (впоследствии преобразованного в Московский инженерно-физический институт). П. И. Лизоркин окончил его с отличием в 1951 году по специальности «теоретическая физика» и был рекомендован в аспирантуру по этой специальности; однако работать в этой области не позволили, вспомнили плен, сказался закрытый профиль института.

В 1951-1957 годах П. И. Лизоркин работал преподавателем кафедры высшей математики МИФИ, а в 1958 году поступил в аспирантуру и с этого времени работал в области математики. В 1961 году П. И. Лизоркин защитил кандидатскую диссертацию. В том же году его пригласили на работу в отдел теории функций Математического института АН СССР, где в 1969 году П. И. Лизоркин защитил докторскую диссертацию.

Работая в Математическом институте СССР, П. И. Лизоркин не порывал с педагогической деятельностью. В течение ряда лет он заведовал кафедрой высшей математики МИФИ, был профессором этой кафедры. В эти же годы в МИФИ началась фундаментальная перестройка преподаваемого курса высшей математики, введение в курсы элементов функционального анализа. Учебник П. И. Лизоркина "Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа" отражает опыт МИФИ в этом направлении, сокращая "разрыв между подготовкой выпускника ВУЗа и требованиями, с которыми ему приходится встречаться на практике".

П. И. Лизоркин был женат на Кузнецовой Валентине Алексеевне, преподавателе МИФИ, у них трое детей.

П. И. Лизоркиным получено окончательное решение задачи о естественном расширении пространств С. Л. Соболева на дробные индексы дифференцирования. Им было введено понятие обобщенной лиувиллевской производной и на его основе определены анизотропные классы бесселевых потенциалов Дальнейшее развитие этих работ привело к построению шкал пространств, известных в литературе как пространства Лизоркина-Трибеля. Петром Ивановичем была развита теория Фурье-мультипликаторов, обобщающая и дополняющая результаты Ю. Марцинкевича и С. Г. Михлина.

Большой цикл совместных работ С. М. Никольского и П. И. Лизоркина по теории краевых задач для эллиптических операторов с сильным вырождением на всей границе области сильно продвинул этот раздел теории дифференциальных уравнений. Они обнаружили, что корректная постановка задачи Дирихле для оператора порядка требует задания на границе области не условий, а меньшего их числа в зависимости от показателя вырождения оператора, разработали вариационные методы исследования первой краевой задачи, изучили свойства гладкости решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнения.

В последние годы жизни П. И. Лизоркин занимался теорией приближений на однородных многообразиях.

Пространства, получившие в научной среде название пространств Лизоркина-Трибеля, были введены П. И. Лизоркиным и затем более детально исследованы немецким математиком Хансом Трибелем.

Обозначим - пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на . Рассматривается совокупность всех систем функций , таких что:

1. Носители функций из системы являются подмножествами следующих множеств: , , ;
2. Для каждого мультииндекса существует положительное число , при котором для всех и всех , где ;
3. для каждого .

Пространства Лизоркина–Трибеля определяются для следующим образом: .

Здесь для краткости обозначает оператор дифференцирования, берущий для всех частную -ю производную по ; - оператор преобразования Фурье; а символом обозначается множество всех умеренных распределений на .

Принадлежность функции пространству Лизоркина-Трибеля означает представимость ее в виде суммы атомарных функций, т.е. функций заданной гладкости с некоторым числом нулевых моментов, чьи преобразования Фурье также имеют фиксированную глад­кость.

Теоремы, сформулированные П. И. Лизоркиным и Х. Трибелем, гарантирова­ли существование разложения функции через атомарные функции, хотя и без описания способа его получения.

Появление базисов , по которым можно производить раз­ложения функций, привело к существенному прогрессу в теории функциональных пространств. Базисы нашли широкое распространение от чисто математических проблем описания функциональных пространств до сугубо прикладных проблем цифровой обработки сигналов и изображений. Базисы всплесков находят все большие применения в физике, астрономии, геофизике, меди­цине и других областях знаний. Причина такой популярности состоит в том, что всплески являются идеальным инструментом для адекватного представления нестационарных сигналов как с точки зрения глубинных свойств, важных в теории, так и с точки зрения существования для них экономичных численных алгоритмов.