Александр Викторович Абакумов родился 4 октября 1929 года в селе Замьяны Енотаевского района Астраханской области в семье потомственного рыбака.
Проучившись 7 классов в школе № 48 в городе Астрахань, Александр Абакумов в 1944 году поступил в Ленинградский техникум нефтяной промышленности, но проучившись год, решил сменить специальность. Поступил в Астраханский рыбопромышленный техникум на судоводительское отделение. Во время ежегодной практики в техникуме Абакумов записался в штат в качестве матроса и работал на буксире в северной части Каспийского моря. Успешно окончив техникум в 1948 году, по направлению уехал в Мурманск, где сначала работал в траловом флоте в качестве матроса, затем штурманом малого плавания и впоследствии был 3-м помощником капитана рыболовного траулера МТ.
В декабре 1949 года было принято решение о создании единого флота и группа мурманских рыбаков, в которую входил и Александр Абакумов, была направлена в только что созданную «Мурмансельдь», в которой тогда было только 8 судов прибрежного лова. Абакумов был назначен старшим помощником, а через год - капитаном СРТ-22 «Фестивальный», став в 23 года самым молодым в этой должности.
В 1954 году Александр Абакумов был капитаном СРТ 4167 «Африка» и по предложению капитана экипаж включился в соревнование за 10 тысяч центнеров вылова рыбы на одно судно, который был перешагнут в канун 1955 года экипаж «Африки». За освоение круглогодичного лова сельди в 1954 году Абакумов был награждён орденом «Знак Почёта». Вскоре весь флот по вылову сельди, взяв пример с Абакумова, перешёл на круглогодичный лов рыбы.
В 1957 году экипажем Александра Абакумова было выловлено 11 246 центнеров трески и сельди, а в 1958 году - 12 тысяч центнеров рыбы. За 5 лет команда корабля, выловив сверх плана 8121 центнер рыбы, имела сверхплановую прибыль в размере 103 700 рублей.
Не выполняющим план кораблям Абакумов оказывал большую практическую помощь: учил разбираться в промысловой обстановке, правильно использовать орудия лова. Благодаря Абакумову многие суда повысили производительность труда, улучшили экономические показатели и экипажи кораблей выходили из прорыва.
В 1959 году Александр Абакумов вступил в КПСС.
В 1962 году СРТ-22 «Фестивальный» стал настоящим кораблём-академией с почётным званием «опорнопоказательный траулер», и капитан Абакумов с его командой своим примером учили личный состав других судов преодолевать трудности и увлекали их на выполнение рейсовых заданий.
Александр Абакумов в марте 1962 года был назначен заместителем начальника по безопасности мореплавания управления «Мурмансельдь».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 апреля 1963 года за выдающиеся успехи в достижении высоких показателей добычи рыбы и производства рыбной продукции Александру Викторовичу Абакумову присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и медали «Серп и Молот».
В 1965 году Абакумов был назначен начальником Северо-Атлантической экспедиции на Шпицбергене, а в 1967 году - заместителя начальника управления «Мурмансельдь».
В 1971 году окончил Высшую партийную школу.
С 1993 года Абакумов работал главным капитаном, заместителем директора по безопасности мореплавания компании «Северная Корона», колхоза «Поной» Мурманского рыбак-колхозсоюза.
В 2003 году Александр Абакумов ушёл на пенсию. Живёт в Мурманске.
Неоднократно избирался в Совет депутатов Октябрьского района Мурманска, был председателем Совета ветеранов войны и труда района, председателем президиума Мурманского фонда ветеранов.
Александр Абакумов был инициатором внедрения в производство новых, прогрессивных орудий лова, современных технологий обработки рыбы и был одним из разработчиков технологии производства сельди «ящичного» посола с процентной соленостью в 5-7 %.