Родился 7 декабря 1901 года в Москве в дворянской семье. Его отец был профессором права и землевладельцем.
До 1911 года Челищев воспитывался дома. Потом обучался в юнкерском училище в Киеве, но был вынужден прервать обучение из-за революции 1917 года.
В 1918-1920 годах Челищев принимал участие в Гражданской войне в России на стороне Белого движения. В 1920 году был тяжело ранен в Крыму, покинул Россию в рядах Русской армии Врангеля. Оказался в Галлиполийском лагере. В эмиграции в Турции, затем перебрался к семье в Королевство Сербов, Хорватов и Словенцев.
Изучал сельское хозяйство в университете в чехословацком городе Брно («Русская акция»), с 1930 года продолжил образование во Франции - в Институте Пастера и Национальном институте агрохимии, где изучал микробиологию и аспекты виноделия. Некоторое время работал в Шампани в фирме Moët & Chandon.
В 1938 году Челищева пригласили поработать в США в калифорнийском хозяйстве Beaulieu - оно занималось производством вина для причастия и находилось под покровительством католической общины Сан-Франциско. С этого момента он навсегда перебрался в Америку.
За короткий срок работы на западном побережье США превратил ничем не примечательное местное вино во всемирно известное калифорнийское каберне.
Умер 5 апреля 1994 года в городе Напа, Калифорния.
За свою жизнь Андрей Челищев получил ряд профессиональных наград:
- За Выдающиеся Заслуги в Виноделии (1986);
- Человек Года в отрасли от Симпозиума производителей вина (1990);
- Приз «Выбор читателей» от журнала Wine Spectator (2000).
В марте 2007 года имя Андрея Челищева было включено в Зал Славы Кулинаров Америки.
Существует также награда имени Андрея Челищева "За вклад в продвижение и популяризацию винодельческой продукции в России", которую вручают на Международном профессиональном конкурсе вин и спиртных напитков, проводимом в Москве.