Е. А. Флейшер начал играть в хоккей с мячом в ленинградской команде «Красная заря». С 1952 года начал выступать в ленинградской «Энергии». В 1955 году получил приглашение в московское «Динамо», где стал бронзовым призёром чемпионата СССР (1956). В том же году он был назван в числе 22 лучших игроков сезона и даже приглашён во вторую сборную СССР на Московский международный турнир. В 1958 году вернулся в Ленинград, где провёл ещё один сезон.
Также играл в хоккей с шайбой, выступал в составе динамовцев Москвы (1957 г.) и Киева (1963-1964).
Неплохо играл в футбол. Выступал за ленинградские клубы «Энергия», «Светлана» и «Динамо», а также за «Спартак» из Станислава.
В 1964 году переехал в Казань, где работал с «Ракетой» в качестве играющего тренера (1964/65), играющего главного тренера (1965/66) и главного тренера (1966/68).
В 1968 году в Ижевске стал работать с клубом по хоккею с шайбой - «Ижсталь» в качестве главного тренера. В 1971 году «Ижсталь» выиграла путёвку в высшую лигу.
В 1974 году в Казани стал работать с клубом по хоккею с шайбой - СК им. Урицкого в качестве начальника команды.
Трагически погиб в декабре 1974 года.