Эдгар Элбакян родился в 1928 году в городе Тбилиси в семье учителя.
В 1946 году после окончания средней школы, переехал в Ереван и поступил на актёрский факультет театрального института, который с успехом окончил в 1950 году. В том же году пошёл работать в театр юного зрителя. В те годы им сыграны много значительных ролей: Павел Корчагин - «Как закалялась сталь», Хлестаков - «Ревизор», Кардинал Ришелье - «Три мушкетёра».
В 1962 году Элбакян был приглашён в Государственный академический театр им. Г. Сундукяна, где созданные им образы Гико - «Пепо», Тарелкина - «Судебное дело», Пайлака (судья) - «Багдасар разводится с женой» вошли в галерею непреходящих ценностей армянского сценического искусства. Сценическое мастерство Эдгара Элбакяна заслужило самую высокую оценку как со стороны широкой общественности, так и со стороны работников искусства.
В 1978 году он был удостоен звания народного артиста АрмССР, а в 1979 - был удостоен Гос. премии АрмССР.
Эдгар Элбакян был широко известен и популярен как в Армении так и за её пределами. Роли сыгранные им, заслуживали внимания прежде всего остротой воплощения образа, реалистичной трактовкой многожанровостью исполнения драматических, комических, характерных героев.