В 1983 году Огрис представлял свою страну на молодёжном чемпионате мира, где Австрия заняла последнее место в группе, не забив ни одного гола.
В течение многих лет он был основным игроком сборной вместе с партнёром по нападению, Тони Польстером. Во время тренерства Эрнста Хаппеля Огрис носил капитанскую повязку сборной. В 63 матчах с 1986 по 1997 год за сборную Австрии он забил 11 голов; дебютный гол забил в октябре 1986 года в ворота Албании, последний - в 1997 году на квалификации к чемпионату мира Шотландии. На клубном уровне он играл за «Фаворитнер», «Аустрия Вена», «Адмира Ваккер Мёдлинг», «Эспаньол» и ЛАСК. В 1990 году он был признан игроком года в Австрии.
Он прославился в «Аустрии», где играл в качестве вингера в течение многих лет и стал любимцем болельщиков. Его противостояние с быстрым игроком «Рапида» Диди Кюбауэром вошло в историю.
Среди его наибольших успехов был выход на чемпионат мира по футболу 1990, где он забил гол в ворота США, на мундиале его заметили скауты «Эспаньола» из испанской Примеры. Для трансфера была запрошена сумма 40 млн шиллингов - тогдашний рекорд. Испанцы хотели сохранить нападающего, но не смогли собрать последний взнос, и Огрис год спустя вернулся в «Аустрию».
После своей карьеры игрока он работал тренером в командах «Зиммеринг», «ПСВ Вена», «Швадорф» и «Флорисдорфер». В настоящее время он участвует в матчах ветеранов вместе с Хербертом Прохазкой, Тони Польстером, Хансом Кранклем и Михаэлем Конзелем, а с сентября 2006 года является членом партии «Вена Селтикс» в Венской палате общин.
В 2006 году кроме парикмахерской, которую он содержал в течение многих лет, в его собственности появилась букмекерская контора в Вене, она стала для него вторым источником дохода. Он также работает в качестве персонального тренера в футбольной академии.
Его брат Эрнст также был профессиональным футболистом, но с меньшим успехом.