Вторая из трёх дочерей в сефардской семье. Её отец, Исаак Хаскил (ум. 1899), перебрался в Бухарест из соседней Бессарабии. Мать, Берта Москона, назвала вторую дочь Кларой в честь своей старшей сестры, также музыкально одарённой, которая безвременно скончалась в 20 лет. Старшая сестра Клары, Лили, стала пианисткой; младшая, Жанна, - скрипачкой.
В 1901 г. поступила в Бухарестскую консерваторию, где проучилась год. В апреле 1902 г. её дядя по матери Авраам забрал Клару к себе в Вену; там она три года проучилась у Рихарда Роберта, заложившего основу её технического мастерства. Подружилась с учеником Роберта Джорджем Селлом. Услышав скрипичные сочинения Брамса в исполнении Й. Иоахима, решила учиться играть на скрипке, но, уехав из Вены, оставила занятия.
Роберт порекомендовал Хаскил Г. Форе, в то время директору Парижской консерватории, и в 1905 г. она поступила в консерваторию, где занималась у Ж. Морпена. В 1907 г. примкнула к классу А. Корто, но из-за его занятости занималась в основном с Лазарем Леви и мадам Жиро-Летарс. В 1910 г. окончила консерваторию с высшей наградой.
Начала гастролировать по Европе, однако в 1913 г. вынуждена была прервать концертную деятельность из-за прогрессирующего сколиоза, на четыре года заключившего её в корсет. В 1921 г. возобновила выступления, однако постоянные болезни и чрезвычайный страх сцены не способствовали её успеху ни у публики, ни у критики.
С началом Второй мировой войны бежала из Парижа в Марсель, где в мае 1942 г. перенесла операцию по удалению опухоли с глазного нерва. Через несколько месяцев перебралась в Швейцарию, где в 1949 г. получила гражданство. В 1951 г. жила в Веве.
6 октября 1960 г. вместе с сестрой Лили приехала в Брюссель, где должно было начаться её концертное турне с Артюром Грюмьо. На вокзале она поскользнулась и упала с лестницы. В бессознательном состоянии её доставили в больницу. На следующее утро её не стало.
Хаскил прожила жизнь в бедности, начала завоёвывать широкую известность лишь после цикла концертов в Нидерландах в 1949 г.
Особенно прославилась интерпретациями сочинений Моцарта, а также Бетховена, Шумана, Скарлатти. Признанный камерный музыкант, выступала в ансамбле с Дж. Энеску, Э. Изаи, П. Казальсом, Д. Липатти, Й. Сигети, Г. Андой, И. Стерном, Г. Шерингом, А. Грюмьо.
Памятная доска на доме в Веве, где жила Клара Хаскил