Александр Богородский родился в Горловке (ныне - Донецкая область Украины), в 1931 окончил педагогический институт в Ростове-на-Дону. В 1933-1936 -аспирант Г. А. Тихова в астрофизической лаборатории Естественно-научного института им. П. Ф. Лесгафта в Ленинграде, в 1936-1938 и 1941-1944 - старший научный сотрудник этого института, в 1938-1944 - докторант Пулковской обсерватории. С 1944 работал в обсерватории Киевского университета (в 1953-1972 - директор), с 1945 преподавал в Киевском университете (в 1963-1978 - профессор, с 1978 - профессор-консультант).
Основные труды в области общей теории относительности, астрофизике, истории астрономии. Рассмотрел астрономические следствия общей теории относительности в книгах «Уравнения поля Эйнштейна» (1962) и «Всемирное тяготение» (1971). Исследовал особенности распространения света в гравитационном поле, общее решение релятивистской задачи Кеплера, движение частицы в поле вращающегося центрального тела. Обобщил принцип эквивалентности, решил уравнения поля для различных частных случаев, занимался исследованиями по релятивистской космологии. Ряд работ относится к физике Солнца, теории профилей линий в спектрах звезд с движущимися атмосферами. Работы по истории астрономии посвящены вопросам развития этой науки в Киеве.
В его честь назван астериод № 3885.