Родился в семье чиновника 12 марта (28 февраля по старому стилю) 1895 года.
Принимал участие в революции 1905 года (распространял листовки) и был исключён из Кутаисской гимназии за политическую неблагонадёжность.
Во время Первой мировой войны с 1915 года служил вольноопределяющимся, после военного обучения в городе Кирсанов Тамбовской губернии служил в 6-й кавалерийской дивизии 7-го кавалерийского корпуса Юго-Западного фронта.
Был членом партии левых эсеров. Арестовывался за революционную пропаганду, но был амнистирован после Февральской революции.
В марте 1917 года возглавил солдатский комитет 6-й кавалерийской дивизии. Являлся делегатом Первого съезда солдатских депутатов Юго-Западного фронта (7 мая 1917 года, Каменец-Подольск).
После выступления Киквидзе на митинге перед солдатами 3-го запасного кавалерийского полка начались беспорядки, в результате которых был убит помощник командира полка полковник Антадилов.
После октябрьской революции 1917 года был избран товарищем председателя Военно-Революционного комитета Юго-Западного фронта.
29 декабря 1917 года Киквидзе выехал из расположения 6-й кавалерийской дивизии в Ровно для участия в внеочередном съезде фронтовых комитетов солдатских депутатов (проведение съезда было назначено на 30 декабря 1917 года в связи с тем, что подчинявшиеся Центральной Раде гайдамаки захватили штабы 11-й, 4-й, 6-й и 8-й армий).
30 декабря 1917 года отряд гайдамаков под командованием полковника Оскилько занял город, но был выбит контратакой трёх сводных отрядов, организованной Киквидзе и Ереминым
1 января 1918 года в Ровно был сформировал Ровенский красногвардейский отряд - 1500 человек (1100 военнослужащих Туркестанского и 25-го корпусов, 150 кавалеристов 13-го Орденского полка с конским составом и вооружением, автобронерота Юго-Западного фронта в полном составе, две полевые батареи Туркестанского корпуса, 25 военнослужащих 25-го инженерного полка и 50 рабочих города Ровно). После ремонта бронепоезда, 3 января 1918 года отряд под командованием Киквидзе нанёс поражение конному отряду гайдамаков под командованием полковника Оскилько, позднее занял Житомир, а затем - Бердичев, который удерживал, прикрывая эвакуацию Юго-Западного фронта .
В начале марта 1918 года под командование Киквидзе были переданы отряды Чудновского и Ауссема, эти силы стали основой для создания 4-й армии, которая с боями отступила к Полтаве.
В мае 1918 года Киквидзе сформировал в Тамбове 1-ю дивизию внеочередного формирования РККА (впоследствии получившую название 16-й стрелковой дивизии РККА) и стал её командиром, к концу мая в составе дивизии насчитывалось 4500 человек .
4 июня 1918 года дивизия была направлена в распоряжение командования Северо-Кавказского военного округа и 12 июня вступила в боевые действия против донских казачьих полков, в течение трёх дней атаковавших станцию Урюпинская.
19-20 июня 1918 года сводный пехотно-кавалерийский отряд из состава дивизии (1000 человек под командованием Киквидзе) ликвидировал вооружённое восстание в Тамбове, которое было организовано под руководством царского генерала Богдановича и командира 1-го Тамбовского полка Окницкого.
С июня 1918 по январь 1919 года 16-я стрелковая дивизия входила в состав 9-й армии РККА, действовавшей против войск генерала П. Н. Краснова. Для этих действий Киквидзе получил от своего командования три бронепоезда, интернациональный батальон и роту китайцев.
Был товарищем матроса А.Г. Железняка, которого назначил на должность командира 1-го полка своей дивизии и, не подчинившись требованию о выдаче «анархиствующего» матроса, укрывал его от преследований со стороны Подвойского.
В ночь с 11 на 12 января 1919 года около хутора Зубрилова при проведении рекогносцировки был смертельно ранен и скончался от полученного пулевого ранения.
Из станицы Преображенская тело Киквидзе было отправлено для захоронения в Москву. В Москве он был похоронен на Ваганьковском кладбище.
Могила Киквидзе на Ваганьковском кладбище.
Михаил Андреевич Цапенко (крайний слева) с фронтовыми друзьями
Согласно официальной историографии гражданской войны Василий Исидорович Киквидзе погиб 11 января 1919 года около хутора Зубрилова в бою, или, как писалось иногда в биографических справках о Киквидзе, «в ночном бою».
В документальной повести писателя Т. К. Гладкова, написанной им в том числе и на основе литературной записи воспоминаний соратника Киквидзе - К. Еремина, говорится о «сухо треснувшем одиночном выстреле со стороны противника», то есть в этом случае картина уже несколько отличается от официальной историографической точки зрения о «ночном бое».
Существует и третья версия, малоправдоподобная, если иметь в виду имеющиеся факты и общую картину событий, происходивших в те дни 1919 года на Царицынском фронте. Согласно этой версии, во время боев за станцию и райцентр Елань и за железнодорожную ветку Балашов-Камышин у Киквидзе произошёл конфликт по вопросу о тактики ведения оборонительных боёв, с одним из командиров отряда, входящего в состав его дивизии, уроженцем этих мест. Отряд состоял из жителей близрасположенных станиц и сел, а командиром отряда был житель села Дубово́го, находящегося в нескольких километрах от Елани - Михаил Андреевич Цапенко, георгиевский кавалер, фронтовик, участник Первой мировой войны в чине младшего унтер-офицера, пользующийся огромным авторитетом среди бойцов своего отряда. По приказу Киквидзе М. Цапенко был вызван в штаб для «разрешения конфликта» и расстрелян. Узнав об этом, соратники Михаила Цапенко намеренно спровоцировали нападение на караул в месте дислокации своего отряда, и прибывший для разбирательства обстоятельств происходящего Киквидзе был намеренно убит друзьями своего расстрелянного командира.
У левых эсеров имелась своя, надуманная версия гибели Киквидзе, которая была изложена в берлинском сборнике 1922 года «Кремль за решеткой (подпольная Россия)»:
«Тов. Киквидзе <…> был очень популярен в красноармейских массах, что крайне беспокоило коммунистов, не имевших возможности ни арестовать его как левого эсера, ни сместить с военного поста. Незадолго до смерти Киквидзе попались в руки документы о подготовке на него покушения тайной боевой дружиной, приехавшей из Питерской ЧК».