Родился в семье исправника, коллежского асессора Алексея Ивановича и Александры Михайловны (Скрипицыной) Саблиных. Брат Михаил - известный впоследствии педагог, статистик, один из редакторов газеты «Русские ведомости», общественный деятель либерального направления. Второй брат Николай - известный революционер-народник. Третий брат Иван - впоследствии, генерал от инфантерии.
В 1863 году семья из своей усадьбы в Чёбсаре Вологодской губернии переехала в Москву и поселилась во Власьевском переулке на Арбате. В 1869 году Александр окончил 3-ю московскую гимназию.
На квартире у его братьев 15 апреля 1869 года был произведён обыск в связи с арестами по «нечаевскому делу», а в 1872 году А. А. Саблина подчинили негласному надзору полиции за участие, по агентурным сведениям, в организованном В. Н. Плевако тайном юридическом обществе, «ставившем целью распространение социалистических теорий, устройство артельных мастерских и т. п.».
После окончания юридического факультета Московского университета со степенью кандидата права (1873), Саблин приехал в Вологду и, после открытия 1.06.1874, Вологодского окружного суда, служил при нём частным поверенным с 07.08.1874.
Вскоре переехал в Москву. Осуществлял защиту дворянина Н. П. Калустова в деле о «Клубе червонных валетов» в Московском окружном суде в 1877 году. Защищал Мышакова в известном деле по обвинению генерала Л. Н. Гартунга в Московском окружном суде с 7 по 14.10.1877.
Как сообщала газета «Новое время» в 1895 году: «В 1881 году он занял должность товарища прокурора Санкт - Петербургского окружного суда, вскоре был переведён товарищем же прокурора в Москву. Здоровье покойного не позволяло ему продолжать свою деятельность на юридическом поприще. Он перешёл на службу в министерство финансов и с 1893 г. управлял ярославской казённой палатой. Умер он 46 лет».
Последнее место его работы - управляющий казённой палатой в Тифлисе.
Был женат на Наталье Григорьевне Способиной. От этого брака имелся сын: Владимир (1884).