Родился Александр Иванович 17 августа 1917 года в городе Чердынь, ныне Пермской области, в семье рабочего. В 1933 году окончил 7 классов Чердынской средней школы. Работал электриком в доме культуры, на городской электростанции. За добросовестный и честный труд неоднократно награждался ценными подарками. Коллективом комсомольской организации был избран секретарём комитета.
С сентября 1938 года в Красной Армии. Член ВКП(б). В 1939 году окончил полковую школу с присвоением звания сержанта-радиста. В 1939-1941 годах обучал молодых танкистов.
Участник Великой Отечественной войны с 19 июля 1941 года. Был назначен в экипаж командира полка майора Потапова. Был ранен в одном из боёв и проходил лечение в госпитале города Дзержинска Горьковской (ныне Нижегородской) области. После выздоровления был направлен во вновь сформированную часть, которая вскоре была направлена на защиту города Ленинграда.
В апреле 1943 года получил тяжёлое ранение и контузию и до сентября того же года находился в госпитале. Медицинская комиссия выписала Александру Ивановичу отпуск домой, но вместо родного Урала сержант уехал на фронт в свою часть.
В январе 1944 года отличился в боях при снятии блокады Ленинграда. В ожесточённых боях и только за один день 14 января 1944 года, 2-я танковая рота под командованием Спирина А. И. уничтожила два танка, 38 землянок и дзотов, 36 пулемётных точек, 38 орудий разного калибра и один бронированный тягач противника. Было взято в плен семь солдат и один офицер, уничтожено живой силы 700 человек.
В эти напряжённые дни Спирин А. И. лично, из пушки и пулемёта, уничтожил 7 противотанковых и 9 других орудий, 18 землянок, 13 пулеметов, один тяжёлый немецкий танк «Тигр», живой силы противника до 19 человек.
16 января 1944 года, перед танковой ротой Спирина А. И. была поставлена задача - во взаимодействии с 308-м стрелковым полком с восточной стороны и 19-м стрелковым полком с западной стороны деревни (ныне посёлока) Дятлицы Ломоносовского района Ленинградской области и овладеть опорным пунктом третьей оборонительной линии противника. На третий день боёв, юго-восточнее опорного пункта, противник ввёл в бой из оперативного резерва два полка 61-й пехотной дивизии и несколько батальонов моторизованной дивизии.
В ночном бою 16 января 1944 года рота старшего лейтенанта Спирина А. И. с тремя танками Т-34 вырвалась далеко вперед и подошла к населённому пункту Дятлицы. В головном танке находился сам командир роты. На подступах к нему было сосредоточено большое количество техники противника. Спирин А. И. не стал ждать, когда подойдут основные силы полка, и решил сам принять неравный бой. За четверть часа танк командира, умело маневрируя, уничтожил девять орудий разного калибра.
Ворвавшись первым на окраину деревни Дятлицы, Спирин А. И. обнаружил 8 танков противника и сходу подбил один из них, а затем ещё два танка противника. Ответным огнём немецких танков машина Спирина А. И. была подбита и загорелась. Спирин А. И. выбрался наружу и открыл огонь по окружившим его солдатам противника.
Когда в Дятлицу вошли советские войска старшего лейтенанта уже не было в живых. На его теле обнаружили 16 ран, а вокруг лежало 60 убитых немецких солдат и офицеров.
Старший лейтенант Спирин А. И. был похоронен в деревне Гостилицы Ломоносовского района Ленинградской области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 февраля 1944 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм», старшему лейтенанту Спирину Александру Ивановичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.