Андрей Александрович Присяжнюк родился 4 (17) июля 1912 в селе Погребище, (ныне - Винницкая область, Украина).
Впервые вышел на сцену в 1930-м году во Владивостокском Театре рабочей молодежи. После закрытия ТРАМа в 1932 году работал в театрах Благовещенска (1932), Спасска-Дальнего (1933-37), Уссурийска (1937-38).
С 1938 года - актёр Владивостокского драматического театра. Присяжнюк - актёр с ярко выраженным комедийным дарованием. Отличался темпераментной, гротескной игрой, пользовался обильным гримом и гротескным актёрским костюмом, иногда использовал одежду зрителей, сданную в гардероб. В годы расцвета Приморского краевого драматического театра в 1950-1970-х годах был партнёром известных артистов Г. Апитина, В. Козелла, Н. Колофидина и др. В отличие от ведущих театральных артистов, не покинул Владивосток и трудился в нём до самой смерти. В последние годы жизни служил в Приморской краевой филармонии (жанр скетча, конферанса, эстрадного монолога), выступал на Приморском радио. Был историком Приморского краевого драматического театра, однако в связи со скоропостижной смертью не закончил свой фундаментальный труд.
Скоропостижно умер от обширного инфаркта 11 ноября 1982 года. Похоронен на Морском кладбище Владивостока.
В 1993 году Приморским союзом театральных деятелей была учреждена Премия имени народного артиста СССР Андрея Присяжнюка, которая наряду с премией имени Вадима Яновича Мялка считается одной из престижных театральных наград Приморья. Этой премии удостаивались артисты Александр Запорожец, Александр Славский, Светлана Салахутдинова и др.
Дочь - заслуженная артистка РСФСР Ирина Присяжнюк, актриса драматического и характерного жанра.