Анатолий родился 18 июня 1955 года в Ульяновске в семье военного. Вскоре семья переезжает в Москву. После окончания школы Анатолий поступил в Гидромелиоративный институт, но проучился там только три года. В 1976 году Абрамов был приглашен в музыкальную группу «Аракс» при театре Ленком. Анатолий Абрамов участвовал в выпуске музыкальных спектаклей «Автоград ХХI», «Звезда и смерть Хоакина Мурьетты», «Варвар и еретик», «Люди и птицы», «Юнона и Авось», «Королевские игры», «Женитьба», «Шут Балакирев». В 1978 Анатолий Абрамов был удостоен звания лауреата международного конкурса «Соколово-78» за участие в исполнении триптиха композитора Алексея Рыбникова.
В 2002 году Анатолию присвоено звание Заслуженного артиста России.
В течение своей музыкальной карьеры Анатолий пользовался практически всеми известными марками как барабанов (Pearl, Tama, Amati), так и тарелок (Zildjian, Sabian, Paiste). Эндорсер барабанных палочек «Leonty».
Женат, воспитывает сына и дочь.