Дед будущего летчика был сыном священнослужителя - настоятеля Кафедального Собора Верного.
Отец - Александр Александрович Шавров (старший) - учился в Военно-юридической Академии в Санкт-Петербурге, служил в станице Илийская. По выходу в отставку в чине штабс-капитана переехал в Верный, где стал книготорговцем.
В Верном Александр Шавров окончил гимназию, а также курсы шоферов Карпа Овчарова.
Член РСДРП(б) с 1907 года. Неоднократно арестовывался на несколько суток.
С 1910 года Александр - студент Московского народного университета А.Шанявского, Московского коммерческого института.
В 1914 году он окончил Ташкентскую военную школу. В 1914-18 годах - участник первой мировой войны: от прапорщика до штабс-капитана.
В октябре 1917 года - курсант Севастопольской военно-авиационной школы.
В 1918 году - участник боевых действий против А. М. Каледина, затем работал на различных должностях Донской Советской Республики в Ростове-на-Дону и на различных руководящих должностях в авиации советского Крыма.
С 25 апреля 1918 года Александр Шавров - начальник управления Южного округа воздушного флота Республики, г. Царицын. С сентября 1918 года - начальник авиации «Западного района обороны» Царицына.
С ноября 1918 года Александр Шавров в распоряжении штаба 4-й армии Восточного фронта, ему поручено наладить регулярную воздушную связь с отрезанным Туркестаном. 19 февраля 1919 года - с заданием командования он лично совершил перелет в Актюбинск, где активно участвовал в обороне города.
Александр Шавров был делегатом 7-го Чрезвычайного съезда советов Туркестана от Актюбинска.
30 марта 1919 года Александр Шавров совершил перелет из Бурного (ныне Жамбылская область) в Верный. 16 апреля 1919 года вылетел на Северный Семиреченский фронт, совершил несколько разведывательных полетов над территорией белых.
1-7 июня 1919 года он активно участвует в 6-м красноармейском съезде Семиреченского фронта (г. Копал), на котором Александр Шавров избран председателем Реввоенсовета (командующим) фронта и военно-политическим комиссаром. Пытался ввести на фронте строгую дисциплину, чем вызвал недовольство анархиствующих крестьянских командиров, главным образом Н.Калашникова. В июне 1919 года арестован взбунтовавшимися частями и вскоре без суда расстрелян как «бывший офицер» в селе Абакумовка, труп бросили в колодец и закидали камнями.
За три героических сверхдальних перелета был представлен к ордену Боевого Красного Знамени, получить не успел.