Авраам Бург родился в иерусалимском районе Рехавия. Его отец, раввин Йосеф Бург, родом из Дрездена, эмигрировал в Палестину в 1939 году и стал активно заниматься политикой с первого созыва кнессета. Мать Авраама, Ривка, родилась в Хевроне, где пережила арабский погром 1929 года.
Авраам Бург окончил службу в армии в звании лейтенанта парашютно-десантных войск, после чего поступил в Еврейский университет в Иерусалиме, где изучал социологию.
Сегодня Бург живёт со своей женой Йаель и шестью детьми в селении Натаф, недалеко от Иерусалима.
Политическая деятельностьУже в начале 1980-х годов Авраам Бург участвовал в политической жизни страны. Примкнув к левому крылу, он состоял в организации Мир Сейчас и получил ранение при взрыве на демонстрации в Иерусалиме против Ливанской Войны в феврале 1983 года. Тогда правый террорист бросил гранату в участников антивоенной демонстрации.
В 1985 году Бург стал советником премьер-министра Шимона Переса по делам диаспоры, в 1988 году был избран в Кнессет от партии Маарах. В общем счёте Бург был членом кнессета 12, 13, 15 и 16 созыва. В 1995 году Бург был избран председателем Всемирной сионистской организации и Еврейского агентства. Его основной работой в этих обществах было восстановление еврейской собственности, утерянной во время Третьего рейха, а также вопросы репатриации граждан СНГ. С 1999 по 2003 год Авраам Бург занимал пост спикера кнессета.
В октябре 2003 года Бург вызвал волну критики, опубликовав в британской газете The Guardian статью под названием «Конец сионизма» (англ. The end of Zionism), в которой требовал немедленного выхода из палестинских территорий.
В 2004 году Бург покинул политическую арену. В 2007 году в интервью газете Га-Арец он предложил отказаться от закона о возвращении, объяснив это тем, что «определять Израиль как еврейское государство - это ключ к его концу. Еврейское государство взрывоопасно. Это динамит.» После волны критики, Бург объяснил, что в его понимании, Израиль должен определяться не как «еврейское государство», а как «государство евреев».
В апреле 2008 года Авраам Бург поддержал организацию J Street, недавно созданную в США.
В январе 2015 года в преддверии выборов в кнессет 20-го созыва Бург присоединился к израильской левой политической партии ХАДАШ.