Родился 20 ноября 1910 года в деревне Леушино. Из семьи учителей. В годы Гражданской войны остался круглым сиротой и воспитывался в детском доме и в трудовой колонии в Татарской АССР.
Окончил среднюю школу, Свердловский горно-металлургический техникум. С 1932 года работал техником-исследователем в Свердловском северном институте цветных металлов. В 1933 году поступил сразу на третий курс Уральского политехнического института, окончил его в 1935 году. В 1935-1940 годах - инженер, начальник цеха, директор Пышминского медеэлектролитного завода в Свердловской области.
В 1940 году был арестован по ложному доносу, осужден за «вредительство». Срок отбывал в Мончегорске, где работал на заводе «Североникель» начальником смены в кобальтомом цехе. В августе 1941 года этапирован в «Вятлаг» НКВД СССР в Кировской области, работал на строительстве железной дороги.
В июне 1942 года добился пересмотра дела, был оправдан и освобождён. Направлен на работу научным сотрудником на завод № 170 в Свердловске. Однако через несколько месяцев талантливый инженер и организатор назначен главным инженером завода № 150 Свердловска. С 1943 года - директор завода № 521 в Первоуральске Свердловской области.
После организации в августе 1945 года под руководством генерал-полковника инженерно-артиллерийской службы Ванников Б. Л. Первого Главного управления при Совете Народных Комиссаров - Совете Министров СССР, с 1946 по 1951 годы А. Н. Каллистов - директор завода № 12 в городе Электросталь Московской области. На этом заводе было организовано первое в СССР производство чистого металлического урана и изготовление из него изделий для их загрузки в промышленный ядерный реактор для наработки плутония.
Возглавив предприятие, А. Н. Каллистов провёл комплекс работ, связанных с реконструкцией завода и организацией производства урановых блоков. 29 августа 1949 года в Советском Союзе на Семипалатинском полигоне был осуществлён взрыв первой советской плутониевой бомбы «РДС-1», явившийся ответом на угрозы США, обладавших к тому времени ядерным оружием, которое они уже неоднократно успели испытать, взорвав 16 июля 1945 года плутониевую бомбу, а затем применив это смертоносное оружие в конце 2-й мировой войны, сбросив на японские города: Хиросиму 6 августа 1945 года урановую бомбу и на Нагасаки 9 августа 1945 года плутониевую бомбу. Теперь весь же всему Миру стало известно, что и в СССР имеется это сверхмощное оружие сдерживания агрессора.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 октября 1949 года «О присвоении звания Героя Социалистического Труда научным, инженерно-техническим и руководящим работникам научно-исследовательских, конструкторских организаций и промышленных предприятий» «за исключительные заслуги перед государством при выполнении специального задания» Каллистову Анатолию Назаровичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
С 1951 года А. Н. Каллистов работал в Новосибирске директором завода № 250 - «почтовый ящик № 80», обеспечивая атомную промышленность изделиями из урана и организовывая производство других материалов. В 1956 году он вновь назначен директором завода № 12, где трудился до 1959 года.
С 1959 года до ухода на заслуженный отдых в середине 1980-х годов А. Н. Каллистов длительное время избирался председателем Центрального Комитета профсоюза работников Министерства среднего машиностроения, много сделал для повышения уровня труда и отдыха работников атомной промышленности.
Один из участников разработки первой советской атомной бомбы и создателей элементов «ядерного щита» СССР, инженер-металлург А. Н. Каллистов жил в городе-герое Москве, где скончался в 2001 году.
Награждён орденом Ленина, орденами Красного Знамени, Трудового Красного Знамени, «Знак Почёта», медалями, в том числе «За трудовую доблесть».
Лауреат Сталинской премии.
