Родился 8 (20) сентября 1892 года в городе Санкт-Петербурге. Потомок старинного дворянского рода Аничковых.
В 1909 году поступил учиться в Императорскую Военную медицинскую академию. Работал в научном кружке под руководством И. П. Павлова, был связан с революционно настроенными студентами. После майской демонстрации в 1912 году был арестован, но ввиду отсутствия улик через 3 месяца освобожден и выслан в Казань.
Продолжил учёбу на медицинском факультете Казанского университета, где опубликовал свою первую научную работу. С началом первой мировой войны С. В. Аничков был направлен в действующую армию, в передовой отряд Красного Креста. Участвовал в боях, в 1917 году был тяжело ранен и демобилизован. В течение 1917-1918 годов продолжил учёбу в 1-м Петроградском медицинском институте, получил диплом врача.
В 1919-1922 годах работал ассистентом на кафедре фармакологии в Военной медицинской академии, а с 1922 года - доцентом кафедры фармакологии в Петроградском медицинском институте. С начала своей научной деятельности занимался вопросами фармакологии нервной и сердечно-сосудистой систем. В 1924 году С. В. Аничков возглавил кафедру фармакологии ВМА. В начале 1930-х годов работал над проблемами военной токсикологии, в том числе терапии поражений фосгеном и ипритом; был соавтором первого советского руководства по токсикологии.
В 1937-1944 годах был репрессирован, находился в заключении по сфабрикованному обвинению. После освобождение вернулся к научной деятельности. В 1945-1948 годах заведовал кафедрой фармакологии в Ленинградском санитарно-гигиеническом медицинском институте.
В 1946 году по представлению Народного Комиссариата Внутренних Дел и академиков: Л. А. Орбели, Н. Н. Аничкова, К. М. Быкова, А. Д. Сперанского - С. В. Аничков избирается членом-корреспондентом АМН СССР.
В декабре 1947 года профессор С. В. Аничков избирается в действительные члены АМН СССР - как один из наиболее крупных советских фармакологов, за свои работы по разработке препаратов сердечно-сосудистого действия, блестящие организаторские способности, за создание своей школы фармакологов.
В 1948 году возглавил отдел фармакологии в Институте экспериментальной медицины Академии медицинских наук СССР. Развернул широкий фронт работ по проблемам нейрофармакологии, которым и посвятил все последующие основные труды. Изучал фармакологическую чувствительность центральной нервной системы, производил поиски новых нейротропных препаратов. Создал и ввел в практику ряд новых лекарственных препаратов, в том числе дибазол, этимизол. В 1951 году за создание курареподобного препарата парамиона и ганглиоблокирующего гексония - был удостоен Сталинской премии.
Жил и работал в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Скончался 10 июля 1981 года. Похоронен на Богословском кладбище.