Михаил Клещёв родился 20 сентября 1907 года в деревне Савина Пышминской волости Камышловского уезда Пермской губернии (ныне Пышминского городского округа Свердловской области). В 10 лет остался сиротой, батрачил на кулаков, воспитывался у деда.
Активно участвовал во всех мероприятиях, проводимых местной партийной ячейкой, выполнял поручения. Восемнадцатилетним был избран депутатом сельского Совета. В 1926 году начал работу участковым уполномоченным сельсовета и председателем комиссии по хлебозаготовкам.
В 1929 году был призван в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Службу проходил в 4-й отдельной кавалерийской бригаде в городе Петергоф. Быстро освоил воинское дело, окончил школу младших командиров, вступил в партию. После демобилизации вернулся домой.
Работал заведующим избой-читальней, секретарем парторганизации. Затем Камышловским райкомом партии был направлен на работу председателем колхоза имени Буденного Кокшаровского сельсовета. Почти пять лет упорного труда на посту председателя колхоза принесли свои плоды: урожайность поднялась до 18 центнеров с гектара, на трудодень стали выдавать по 4-5 килограммов зерна и другие продукты. В 1935 году райкомом партии был направлен на учёбу.
После окончания в 1938 году Курганской высшей коммунистической сельскохозяйственной школы работал районным уполномоченным Наркомата заготовок в Ольховском, Кировском, Мишкинском, Далматовском, Катайском районах. В годы Великой Отечественной войны политрук запаса Клещёв дважды пытался добровольцем уйти на фронт, но был оставлен на партийной работе. В 1943 году Клещёв был переведен на работу в областной аппарат только что образованной Курганской области.
В 1956 году направлен председателем колхоза «Родина» Катайского района, где проявил себя одарённым организатором, новатором, грамотным руководителем. Под его руководством колхоз быстро вышел в число передовых хозяйств Курганской области. В 1957 году колхоз в числе первых хозяйств области начал выдавать ежемесячную денежную зарплату. Если в 1955 году доход колхоза был 103 тысячи рублей, в 1956 - 203 тысячи рублей, то в 1957 году он был уже миллион двести семьдесят четыре тысячи рублей. Средние надои увеличились более чем вдвое, составив 2737 килограммов от фуражной коровы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 марта 1966 года за достигнутые успехи в развитии животноводства, увеличении производства и заготовок мяса, молока, яиц, шерсти и другой продукции Клещёву Михаилу Петровичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и Золотой медали «Серп и Молот».
В течение семи лет его работы колхоз был на областной Доске почёта, а в 1967 ему на вечное хранение было вручено Памятное красное знамя Президиума Верховного Совета, Совета Министров РСФСР и ВЦСПС. В 1968 году тяжелая болезнь заставила Клещёва оставить пост председателя. Некоторое время затем он заведовал отделом кадров Катайского районного управления сельского хозяйства.
Всю свою трудовую жизнь Клещёв вёл большую общественную работу, неоднократно избирался депутатом районного Совета депутатов трудящихся, членом райкома и обкома КПСС. Был делегатом XXIII съезда партии.
Жил в городе Катайске.
Михаил Петрович Клещёв умер 20 августа 1976 года.