Сын вице-адмирала Петра Гавриловича Кашкина, младший брат генерал-майора Аристарха Кашкина. Получил образование в сухопутном Шляхетском корпусе.
С 17 лет он был записан на службу сержантом. В чине поручика в 1756 году Евгений был прикомандирован к командующему армией Степану Фёдоровичу Апраксину в качестве переводчика. Попасть на такую должность было лестно, и его способности быстро оценили. В это время в Европе разгорелась Семилетняя война (1756-1762 годы), в которую после заключения с Австрией антипрусского союза вступила и Россия. В мае 1757 года армия Апраксина, насчитывающая до 100 тысяч человек, выступила из Лифляндии в направлении реки Неман. 19 (30) августа 1757 года близ деревни Гросс-Егерсдорф произошло сражение между прусской и русской армиями.
После смерти Апраксина Кашкин сумел сблизиться со сменившим его графом Захаром Григорьевичем Чернышёвым. В 1761 году, после взятия в ночь c 30 сентября на 1 октября крепости Швейдниц австрийско-русскими силами (корпусом Лаудон и отрядом Чернышёва) Евгению Кашкину было присвоено звание премьер-майора. Он был отправлен с донесением об это победе к императрице Елизавете Петровне и в дополнение к новому званию 4 октября 1761 года получил в награду 1.000 рублей. Это произошло за два месяца до кончины Елизаветы.
При императоре Петре III Е. П. Кашкин служил в Ярославском полку, вместе с которым находился сначала в Эстляндии, а затем в Нарве. В 1763-1764 гг. полк стоял на польской границе
Во время поездки императрицы Екатерины II по Прибалтике в ночь с 4 на 5 июля 1764 г. поручик В. Я. Мирович пытался освободить из Шлиссельбургской крепости несчастного Иоанна VI Антоновича. Как известно, этот заговор окончился смертью узника. С донесением о происшествии и принятых мерах по поручению графа Н. И. Панина к Екатерине отправился Е. П. Кашкин в чине подполковника. Императрица осталась довольна его докладом и в письмах к Панину высказала уверенность, что никто лучше Кашкина не расследовал бы это дело. Вот как она отмечала это в письме из Нарвы 14 июля 1764 г.: «Никита Иванович! Господин Кашкин повёз к вам три моих письма…до ваших рук неотменно дошёл уже указ мой Веймарну, который придайте Кашкину, дабы какое несходство не произошло: никто лучше сего последнего дело изъяснить не может». Евгений Петрович после удачного участия в расследовании получил звание полковника и принял командование над Ярославским полком. В 1765 г. этот полк входил в состав 2-й дивизии под командованием князя Александра Михайловича Голицына.
В 1768 г. началась война России с Турцией. Из-за неожиданного нападения неприятеля первые действия русской армии были малоудачными. В 1769 г. Е. П. Кашкин смог неоднократно отличиться вместе со своим полком, но при атаке моста под Хотином был тяжело ранен. Он был вынужден уехать для лечения в госпиталь. Вскоре известие о его ранении дошло до столицы, и в сентябре З. Г. Чернышёв сообщил Е. П. Кашкину в письме, что Екатерина пожаловала его в бригадиры. Однако лечение не помогало, и Е. П. Кашкин попросил увольнения от службы до полного выздоровления. Принявший к этому времени командование граф П.А. Румянцев разрешил увольнение к концу 1769 г., однако Екатерина сочла возможным другое решение.
1 января 1770 г. императрица назначила Кашкина премьер-майором в лейб-гвардейский Семёновский полк с увольнением в отпуск до излечения от раны. В своём письме Е. П. Кашкину Екатерина II писала: «Желаю только, чтобы вы скорее выздоровели, а впрочем, вы можете надеяться, что я вас не оставлю». Через семь месяцев рана Кашкина закрылась, и государыня дала ему первое ответственное поручение. Он должен был отправиться в Берлин, чтобы сопровождать принца Генриха в Петербург. С прусским принцем Е. П. Кашкин встретился 16 августа 1770 г. Переданная через Кашкина новость о Чесменской победе и разгроме турецкого флота заметно расстроила планы берлинской дипломатии на скорое ослабление России. Действия русского флота в Средиземном море и победа русской армии на Дунае заставили принца Генриха изменить тон, подсказанный Фридрихом II. Вместе с принцем Е. П. Кашкин вернулся в столицу и оставался при нём до января 1771 г.
Во взаимоотношениях с принцем Генрихом Екатерина II проявила себя опытным государственным деятелем. Она одновременно показала ему множество русских войск, расположенных в столице, и практически лишила его возможности говорить о политике. Для принца постоянно устраивались балы и званые обеды. На такие обеды, включавшие избранный круг не более 20 человек, с 14 октября 1770 г. стали приглашать и Е. П. Кашкина. Это было несомненным признаком его возвышения при императрице. Он часто бывал во дворце, беседовал с Екатериной и произвёл на неё опять самое приятное впечатление. После отъезда Генриха из России Е. П. Кашкин лично от императрицы получил новое распоряжение. Он должен был разобраться с жалобой Евдокима Никитича Демидова о том, что обер-кригс-комиссар Поздняков якобы обманным путём завладел имением бездетного слабоумного брата Алексея Демидова. Однако, пока шло расследование, Поздняков успел жениться на вдове А. Демидова и наследство ускользнуло от Демидовых окончательно.
В 1771 г. начался первый раздел территории Польши. Для установления новых рубежей на границу был отправлен корпус генерала А. И. Бибикова, в рядах которого находился Е. П. Кашкин. Вооружённых столкновений не произошло, и 8 ноября 1771 г. Евгений Петрович был отозван в Петербург. В столицу он вернулся в январе 1772 г. и дважды (23 и 29 января) обедал у императрицы. Вместе с ним на этих обедах присутствовал адмирал Чарльз Нольс (en:Sir Charles Knowles, 1st Baronet), они совместно обсуждали планы ударов по Османской империи с Дуная.
Показателем глубокого доверия Екатерины был тот факт, что в распоряжение Е. П. Кашкина были выданы 100 тысяч рублей на расходы по постройке флотилии. Нольс в своих донесениях отзывался о нём с большой похвалой, но местные проблемы не позволяли им решать поставленную задачу, и летом 1772 г. Евгений Петрович возвратился в Санкт-Петербург. В 1775 г. Кашкин был произведён в генерал-поручики. В этот период он был довольно близок к великому князю Павлу, будущему императору. В 1772 г. Е. П. Кашкин получил гольштинский орден Святой Анны, эта награда была вручена ему без специального разрешения Екатерины по инициативе самого Павла. Поэтому далеко не случайно после смерти первой жены Павла Натальи Алексеевны он сопровождал его за невестой в Берлин. В жёны Павлу была выбрана наследная принцесса Вюртембергская, ставшая великой княгиней, а затем императрицей Марией Фёдоровной. Эта поездка состоялась в 1776 г. Великий князь первым вернулся из Берлина в Царское Село, а Е. П. Кашкин сопровождал принцессу в дороге. Очевидно, при выборе сопровождающего был учтён опыт Е. П. Кашкина.
Выборгский губернаторВ начале 1778 года Евгений Петрович был назначен Выборгским губернатором, а 7 мая последовало его назначение «правящим должность генерал-губернатора» в предполагаемом к открытию Пермском и Тобольском наместничестве. Евгению Кашкину первым сообщил о новом назначении в частном письме граф Захар Григорьевич Чернышёв, сам назначенный к тому времени наместником Полоцкой и Могилёвской губерний. Он передал Кашкину слова Екатерины II о том, что она «рада, что для отдалённого сего края нашла верховного правителя, о коего ревности, бескорыстии и способности она совершенно уверена». Как и каждый впервые назначенный наместник, Е. П. Кашкин должен был объехать край, который поручался его наблюдениям. Он должен был выбрать населённые пункты для объявления их городами, представить императрице и Правительствующему сенату свои предложения о местных службах. По его предложению 26 ноября 1780 года. последовал указ о приобретении в казну от графов А. Р. Воронцова и С. Р. Воронцова принадлежащего им Ягошихинского завода и об устройстве из существующего при нём поселения губернского города Перми.
20 ноября (1 декабря) 1780 года Екатерина II подписала указ о создании на основе завода города Перми и Пермского наместничества в составе двух областей - Пермской и Тобольской.
Пермско-Тобольский наместник18(29) октября 1781 года состоялось торжественное открытие Пермско-Тобольского наместничества, новой Пермской губернии и города Пермь. Евгений Кашкин стал её первым наместником, оставив пост выборгского губернатора.
Тобольская губерния была открыта 30 августа 1782 года. Эти отдалённые, обширные и малонаселённые территории требовали пристального внимания со стороны высших представителей власти. Как первый генерал-губернатор этого края, Е. П. Кашкин должен был организовать деятельность новых правительственных учреждений. Его специальному попечению был поручен горный промысел. Здесь особенно важно было добиться неукоснительного соблюдения правил, выработанных для управления казёнными заводами, также необходимо было разрешать часто возникающие споры между казной и частными лицами о праве собственности на некоторые рудники. Вследствие специфических местных условий для Пермской и Тобольской губерний штаты и весь аппарат управления несколько отличались от общих губернских штатов. Пермский историк А. А. Дмитриев так охарактеризовал Кашкина: «Это был не только выдающийся администратор своего времени, взысканный особенным доверием императрицы Екатерины II и облеченный большими полномочиями, но и один из гуманнейших людей, обладавших редкой широтой взгляда и преданностью делу, за которое он всегда принимался с воодушевлением».
Е. П. Кашкин деятельно занимался развитием местного управления в своём наместничестве. Он лично посетил большинство городов края и руководил открытием там присутственных мест, много заботился об обеспечении губернии хлебом. Чтобы избежать вероятности голода, он разработал и подал Екатерине II записку об устройстве запасных хлебных складов. Императрица поддержала эту идею. Богатством Сибири были пушнина и соль, и поэтому Кашкин стремился расширить производство и вывоз этих товаров. Он составил пространную записку об улучшении добычи соли в Пермской губернии и её вывоза. Однако преемник его на посту генерал-губернатора не заинтересовался подобными проектами, в связи с чем проект Евгения Петровича не был осуществлён. Под контролем Кашкина в Пермской губернии проводилось деление на волости. Сохранились свидетельства о его весьма гуманном отношении к раскольникам. Должность Пермского и тобольского генерал-губернатора Е. П. Кашкин исполнял до 1 марта 1788 г., то есть около десяти лет. Его деятельность в Сибири была отмечена в 1782 г. орденом Св. Александра Невского, а в 1784 г. орденом Святого Равноапостольского князя Владимира первой степени. Руководил строительством и благоустройством Перми. После его назначения в Пермь в 1780 году по специально составленному плану застройки руководил возведением деревянных административных зданий. Сначала это был дом губернатора, затем в конце 1783 года Кашкин инициировал возведение второй церкви в городе. Перевёл в Пермь Пыскорский мужской монастырь. При нём также было переведено в Пермь духовное управление из Кунгура, а Петропавловская церковь возведена в ранг Собора. Основал главное народное училище в Перми, открытое 22 сентября (3 октября) 1786 года и преобразованное впоследствии в мужскую гимназию. Также содействовал открытию в городе богадельни.
Весной 1788 г. генерал-губернатор отправился в столицу. После смерти первого ярославского генерал-губернатора А. П. Мельгунова, последовавшей 2 июля 1788 г., Кашкин был назначен наместником Ярославским и Вологодским. В этой должности он оставался пять лет. В 1790 г. Евгений Петрович был произведен в генерал-аншефы.
2 сентября 1793 года Кашкин был назначен наместником Тульским и Калужским, но здоровье его к тому времени окончательно пошатнулось. Ему была сделана операция, но и она не помогла. 7 октября 1796 года Евгений Петрович Кашкин скончался в Петербурге. Был похоронен на Лазаревском кладбище в Александро-Невской Лавре.