Юнас Густавссон начинал играть за юниорские и молодёжные клубы Стокгольмского АИКа. В 2007 году перешёл в «Ферьестад», где уже в следующем сезоне выиграл чемпионат Швеции, сделав пять шатаутов в тринадцати матчах плей-офф. Летом 2009 года решил уехать в Северную Америку, где интерес к нему проявляли «Даллас Старз», «Торонто Мейпл Лифс», «Колорадо Эвеланш» и «Сан-Хосе Шаркс». В итоге Юнас выбрал «Торонто» и подписал контракт на один год.
«Торонто Мейпл Лифс»Юнас Густавссон в форме «Торонто Мейпл Лифс» в 2009 году
В «Торонто» у Густавссона обнаружились проблемы с сердцем из-за больших нагрузок. В середине сентября он перенес небольшую операцию на сердце, но к началу сезона полностью восстановился. 3 октября впервые вышел на лёд в матче НХЛ в игре против «Вашингтон Кэпиталз», заменив неудачно начавшего матч Весу Тоскалу, а уже в следующем матче против «Оттавы Сенаторз» начал игру с первых минут. 2 декабря Густавссон не смог доиграть матч против «Монреаля» и был заменен по ходу игры. Во время игры у него участилось биение сердца, и он был доставлен в ближайший госпиталь.
Когда стало известно, что у Юнаса проблемы с сердцем, я сразу принял решение поменять его. Я не хочу нести ответственность за смерть кого-либо из хоккеистов во время игры. Никакая победа не стоит жизни игрока.
- Рон Уилсон, главный тренер «Торонто Мейпл Лифс»
4 декабря Юнас Густавссон перенес вторую операцию на сердце.
Несмотря на присутствие в команде сначала Весы Тоскалы, а потом и Жана-Себастьяна Жигера, считавшихся стартовыми вратарями, Юнас Густавссон провел больше всех игр среди вратарей «листьев» в сезоне 2009/10, приняв участие в более чем половине из них.
16 апреля 2010 года Густавссон продлил контракт с клубом на два года. В новом сезоне роль основного вратаря отводилась Жигеру, но из-за травм он был вынужден пропустить несколько игр. Густавссон в свою очередь начал сезон неудачно; из тех матчей, которые Юнас начинал с первых минут, команда проиграла 13 в основное время при шести победах. После разгромного поражения от «Рейнджерс» в «Мэдисон Сквер Гарден» со счетом 7-0, Густавссон был посажен в запас, а 5 февраля отправлен в клуб АХЛ «Торонто Марлис». Вместо него в «Мейпл Лифс» из «Марлис» был вызван Джеймс Раймер, который и отыграл большую часть оставшегося сезона. 12 февраля Густавссон прошёл процедуру абляции сердца.
Сезон 2011/12 Густавссон начинал как дублёр Джеймса Раймера. Это случилось после того, как 1 июля в статусе свободного агента команду покинул Жигер. Густавссон был заявлен на 81 матч из 82, сыграл в 42 из них, сделал рекордные для себя 4 шатаута за сезон и повторил свой лучший в НХЛ результат по процентному отношению отбитых бросков.
По окончании сезона, 23 июня, права на шведа были обменены в «Виннипег Джетс». Взамен «Торонто» получал условный выбор в седьмом раунде драфта 2013 года. С «Джетс» Густавссон контракт так и не подписал, став 1 июля неограниченно свободным агентом. Выбор в 7 раунде остался у «Виннипега».
«Детройт Ред Уингз»1 июля 2012 года Густавссон подписал контракт на два года с «Детройтом». Сумма контракта составила 3 миллиона долларов. В укороченном из-за локаута сезоне Юнас принял участие только в семи матчах, один раз выйдя на замену Джимми Ховарду. 20 июня 2014 года Густавссон продлил соглашение с «Детройтом» на один год.
Сезон 2014/15 Густавссон начинал как второй вратарь после Ховарда. Дебют Юнаса состоялся 18 октября в матче против «Торонто Мейпл Лифс». «Детройт» выиграл матч со счётом 1:0, а Густавссон оформил первый и единственный в сезоне шатаут. В матче против «Нью-Йорк Рейнджерс», состоявшемся 4 ноября, Густавссон в овертайме неудачно упал на левую руку, пытаясь предотвратить бросок Дерика Брассара. У Густавссона был диагностирован вывих плечевого сустава, из-за чего он был вынужден пропустить три месяца. 31 января, после восстановления от травмы, Густавссона отправили в фарм-клуб «Гранд-Рапидс Гриффинс» для набора игровой формы. За время, пока Густавссон был травмирован, запасным вратарём стал Петр Мразек. 10 января травму паха получил Ховард, и Мразек стал основным вратарём. За время отсутствия двух вратарей Мразек в 11 матчах одержал 8 побед при двух поражениях. К матчу против «Питтсбург Пингвинз», состоявшемуся 11 февраля, оба вратаря - Ховард и Густавссон полностью восстановились от травм. Мразек остался основным вратарём, Ховард стал запасным, а Густавссон стал третьим вратарём. В конце февраля и начале марта Густавссон сыграл еще в четырёх матчах, один раз выйдя на замену Ховарду, после чего практически перестал попадать в состав. После окончания сезона генеральный менеджер «Детройта» Кен Холланд завил, что клуб не будет предлагать новый контракт Густавссону и 1 июля тот станет свободным агентом.
В сборнойЮнас Густавссон и тренер вратарей Эрик Гранквист на тренировке сборной Швеции в 2010 году
На чемпионатах мира Густавссон дебютировал в 2009 году. На проходившем в Швейцарии турнире сборной Швеции заняла третье место, а Густавссон принял участие в пяти матчах из девяти.
На Олимпиаде в Ванкувере Густавссон сыграл в одном матче - на групповом этапе против сборной Белоруссии (Шведы выиграли со счётом 4:2).
На чемпионате мира 2010 года Густавссон и Якоб Маркстрём сыграли по три матча на первом и втором групповых этапах, но в матчах плей-офф и в матче за третье место играл Густавссон.
Юнас Густавссон был в заявке сборной Швеции на Олимпиаде в Сочи и стал обладателем серебряной медали, хотя не провёл на турнире ни одного матча.