Родился в крестьянской семье. Русский. Окончил 7 классов школы в селе Кольдюки. Работал мотористом теплохода Московского пароходства.
В Красной Армии с января 1942 года. В действующей армии с февраля 1942 года, служил бронебойщиком в 8-й стрелковой дивизии.
1 июля 1942 года у села Долгое Орловской области Цаплин вместе с другими бойцами участвовал в отражении танкового прорыва гитлеровцев, не зная ещё, что сражается с целой 4-й танковой армией армейской группы «Вейхс» вермахта, которая именно в этих местах начала своё летнее 1942 года наступление к Дону, Сталинграду и на Кавказ. К 5 июля 1942 года советские бойцы отошли на рубеж в районе посёлка Тербуны Липецкой области, где, зарывшись в землю и сражаясь насмерть, выстояли и не пропустили дальше врага на этом участке фронта.
До января 1943 года Цаплин участвовал во множестве боёв «местного значения». 8-я стрелковая дивизия вела активную оборону, препятствуя переброске фашистских войск с этого участка в Сталинград.
В январе 1943 года Цаплин участвовал в наступлении. Освобождал населённые пункты Курской области Набережное, Касторное и город Малоархангельск Орловской области.
В районе Малоархангельска летом 1943 года воины 8-й стрелковой дивизии встретили вспомогательный удар фашистских бронированных полчищ в обход города Курска. В боях на Курской дуге Цаплин подбил 2 фашистских танка и 12 июля 1943 года был награждён медалью «За отвагу».
В августе 1943 года Цаплин в составе своей дивизии освобождал посёлок Кромы и райцентр Сумской области Ямполь. Впереди у него было 3 больших реки: Десна, Днепр и Припять.
11 сентября 1943 года части дивизии, в числе которых был и Цаплин, форсировали Десну у села Оболонь близ города Короп Черниговской области. На плацдарм пошли в атаку фашистские тяжёлые танки. Один из них был подбит метким выстрелом Цаплина. Бойцы отразили танковый удар и устремились к Днепру.
21 сентября 1943 года Цаплин со своим стрелковым батальоном форсировал Днепр в районе села Навозы (ныне - Днепровское Черниговского района). Гитлеровская оборона на берегу была прорвана и захвачен большой плацдарм, на который переправилась не только вся 8-я дивизия, но и другие армейские соединения. 25 сентября 1943 года передовые подразделения вышли на берег Припяти и с ходу форсировали её в районе села Копачи (Чернобыльский район Киевской области). Цаплин приготовился оборонять уже третий плацдарм в течение месяца.
На позиции батальона шли «тигры». Один вражеский танк двигался на окоп Цаплина. С расстояния 20 метров Цаплин сделал два выстрела, и острые языки пламени стали лизать стальную машину. Из соседнего окопа по пехоте бил пулемёт. Цаплин увидел фашистский танк, идущий на окоп пулемётчика. В одно мгновение танк был схвачен в прицел ружья, и точные выстрелы по борту зажгли машину. Яростная контратака гитлеровцев была отбита. Плацдарм остался в руках наших войск.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм красноармейцу Андрею Павловичу Цаплину присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1999).
16 ноября 1943 года в бою под селом Ново-Шепеничи Чернобыльского района Цаплин был ранен и контужен. После лечения в госпитале его послали на курсы младших лейтенантов 1-го Украинского фронта. После окончания курсов в апреле 1944 года Цаплин попал в 237-ю Пирятинскую стрелковую дивизию. Приняв командование взводом полковой роты ПТР, Цаплин с большим упорством обучал солдат, передавая им знания и опыт солдата-бронебойщика.
20 июля 1944 года 237-я стрелковая дивизия перешла в наступление в направлении на город Ужгород и Карпаты. У посёлка Рожнятов 1 августа 1944 года большие силы гитлеровцев предприняли фланговый удар по вырвавшейся вперёд дивизии. Отражая танковую контратаку, младший лейтенант Цаплин поджёг 2 фашистских танка, но был смертельно ранен осколком разорвавшегося снаряда и умер в этот же день на руках товарищей. 14 августа 1944 года он был посмертно награждён орденом Отечественной войны 1-й степени, который был передан вместе с Грамотой Героя Советского Союза его матери.
Похоронен Герой в братской могиле в посёлке городского типа Рожнятов Ивано-Франковской области Украины.