А. Н. Лазарев родился 5 июля 1945 года в Москве. Учился в музыкально-педагогическом училище имени Октябрьской революции, ЛГК имени Н. А. Римского-Корсакова, затем окончил МГК имени П. И. Чайковского у Л. М. Гинзбурга. В 1971 году оркестр под его управлением получил первый приз Всесоюзного конкурса дирижёров. В 1972 году он выиграл первый приз и золотую медаль на конкурсе студенческих оркестров в Берлине.
В 1987-1995 годах Александр Лазарев был главным дирижёром и художественным руководителем Большого театра. Руководил многими оперными постановками тех лет. В видеозаписях сохранились, например, его версии «Млады» Николая Римского-Корсакова, «Ивана Сусанина» Глинки, «Бориса Годунова» Мусоргского.
Одновременно с работой в Большом театре Лазарев в 1992-1995 годах занимая пост главного приглашенного дирижёра Симфонического оркестра Би-Би-Си. В 1994 году он стал главным приглашённым дирижёром Королевского шотландского национального оркестра, а в 1997-2005 годах возглавлял его. В 2008-2011 годах - руководитель Японского филармонического оркестра.
В 2015 году Лазарев после долгого перерыва вновь осуществил оперную постановку в России - «Хованщину» Модеста Мусоргского в Музыкальном театре Станиславского в Москве.