Происходил из остзейского дворянского рода. Родился в семье лифляндского ландмаршала барона Густава Генриха фон Игельстрёма и Маргареты Элизабеты фон Альбедиль. Генерал-майор Александр Игельстрём, отличившийся в годы наполеоновских войн, приходился ему племянником.
Воспитывался сначала в Риге, затем в немецких университетах. В 1753 г. поступил на службу в русскую гвардию и за отличия в Семилетнюю войну произведён в подполковники. В 1763 г. состоял в Митаве при герцоге Курляндском, но скоро был отправлен в Польшу под начальство князя Н. В. Репнина, который возлагал на Игельстрема важные поручения политического характера.
Образованный, говоривший прекрасно на иностранных языках, любезный в обращении, молодой Игельстром состоял в близких отношениях с любовницей короля и этим путём добывал весьма ценные для русских сведения. В 1766 году он был произведён в полковники, королём польским был награждён орденом св. Станислава, а шляхтой принят в число польских дворян.
Борьба с туркамиВо время первой войны с Турцией Игельстром отличился при осаде Килии, за что пожалован орденом св. Георгия 3-го кл. За взятие Аккермана, где им захвачено 13 знамён, около 80 орудий и масса снарядов, произведён в генерал-майоры, а при заключении Кучук-Кайнарджийского мира - в генерал-поручики.
После присоединения Крыма по поручению Потёмкина привёз в Россию из Тамани крымского хана Шагин-Гирея, из-за чего впоследствии пользовался покровительством и особым доверием князя Таврического.
В 1784 году благодаря этой протекции получил место генерал-губернатора Симбирского и Уфимского наместничеств. На этом посту ему удавалось поддерживать спокойствие среди мусульманских народов, которые, как опасались в Петербурге, могли взбунтоваться на фоне войн с их единоверцами-турками.
ДипломатИгельстром участвовал в шведской войне и вёл переговоры с Армфельтом о заключении Верельского договора в 1790 году. За успешное заключение мирного договора был награждён от Екатерины II орденом Св. Андрея Первозванного, чином генерал-аншефа, похвальной грамотой, золотой шпагой и 40 тыс. рублей, а от шведского короля получил орден Серафимов (1791).
Штурм российского посольства в Варшаве (17 апреля 1794 года)
В течение двух следующих лет Игельстрём был генерал-губернатором псковским, смоленским и временно управлял Малороссией, пока в декабре 1792 г. не был послан в Варшаву для принятия главного начальства над русскими войсками в Польше. В это время (29 июня) он был возведён (с двумя братьями) викарием Священной Римской империи (курфюрстом саксонским) в графское достоинство.
В 1794 году, по увольнении графа Сиверса, Игельстром заступил его место в качестве полномочного российского посла в Речи Посполитой. Первое время его действия благосклонно были принимаемы в Петербурге. Игельстром хлопотал об уменьшении численности польской армии, о покупке её артиллерии Россией, о привлечении поляков на русскую службу. Предвидя восстание, он не раз просил графа Зубова увеличить армию, но получал в ответ только упрёки в трусости.
У варшавцев он снискал репутацию сварливого подагрика, который стремился навязать свою волю полякам. Рассказывали, что великий канцлер Сулковский умер от разрыва сердца, как только вышел от Игельстрома. Дипломат поселил в здании посольства замужнюю, но известную легкомысленным поведением красавицу, графиню Гонорату Залускую (1740-1819) - дочь люблинского губернатора Йозефа Стемпковского, которая к тому времени успела развестись с князем Любомирским. Чтобы не тревожить её утренний сон, Медовую улицу около посольства выложили толстым слоем соломы, перекрыв доступ карет и пешеходов.
Когда в 1794 году в Варшаве вспыхнуло восстание, Игельстрём, бежав из мятежного города на дачу княгини Чарторыйской в Повонзках, едва спасся от смерти. По сведениям Булгарина, «генерала Игельстрема спасла его любовница графиня Залусская и переодетого вывезла из Варшавы». В его непредусмотрительности видели главную причину гибели всего русского гарнизона в ночь с 16 на 17 апреля 1794 года. Императрица, получив известие об этих событиях, рассказывают, ударила рукой по столу и сказала: «Счастлив этот старик, что прежние его заслуги сохраняются в моей памяти!»
Поздние годыКароль Теофиль Залуский, предполагаемый сын
Уволенный в отставку, Игельстром поселился с графиней Залуской в Риге, пока сразу по смерти императрицы новый государь Павел I не призвал его вновь на службу и не назначил военным губернатором в Оренбург. В этом звании Игельстрём подчинил оренбургскому начальству башкир и мещеряков и улучшил их внутреннее устройство. Утверждается, что в Оренбурге фавориткой любвеобильного сановника стала знатная казашка Тайкара.
Через 2 года Игельстрём, изнурённый приступами подагры, окончательно оставил службу и удалился в своё литовское имение Горжды, где и умер в 1823 году в глубокой старости. В 1804 году он официально оформил свои отношения с графиней Залусской, которая воспитывала в России их общих детей, сына и дочь. Поскольку дети были рождены в Варшаве до развода графини с мужем, они носили фамилию Залуских.