Семён Березин родился 25 апреля (по новому стилю - 8 мая) 1902 года в деревне Березины (ныне - Халтуринский район Кировской области) в семье крестьянина. Окончил начальную и среднюю школу. В 1924 году был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию, в 1926 году был демобилизован, работал учителем физической культуры и военного дела в Халтуринском сельскохозяйственном техникуме. В 1935 году был повторно призван в РККА, окончил курсы переподготовки комсостава, служил в пехотных частях Приволжского и Ленинградского военных округов.
Принимал участие в советско-финской войне, будучи старшим лейтенантом и командиром лыжного батальона 252-го стрелкового полка 70-й стрелковой дивизии 7-й армии. В марте 1940 года его батальон первым из подразделений дивизии вышел к берегу Финского залива в районе города Териоки (ныне - Зеленогорск Ленинградской области) и форта Ино (ныне - посёлок Приветнинское Выборгского района Ленинградской области), что способствовало успешному захвату данных населённых пунктов советскими войсками. Возглавлял разведроту, которая проводила разведку островов Равансари и Туппурансари. Преодолев около 9 километров по льду, рота захватила эти острова и перерезала шоссе, ведущее на Виипури (ныне - Выборг), и удерживала свои позиции в течение трёх дней до подхода основных сил дивизии.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 года за «мужество и героизм, проявленные в боях» старший лейтенант Семён Березин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 445.
С июня 1941 года - на фронтах Великой Отечественной войны. Занимал должности начальника штаба, заместителя командира стрелкового полка, первоначально воевал на Юго-Западном фронте. В апреле 1942 года - мае 1943 года был командиром 472-го стрелкового полка Воронежского фронта, с мая 1943 года командовал стрелковым полком на Степном и 2-м Украинском фронтах. В конце 1943 года Березин получил тяжёлое ранение, после чего длительное время находился в госпитале.
После окончания войны Березин продолжил службу в Советской Армии, окончил Военную академию имени Фрунзе. Служил в должности военного коменданта города Измаил Одесской области, затем комендантом Одесского укрепрайона. В 1955 году в звании полковника Березин был уволен в запас. Жил в Одессе, умер 20 июня 1967 года.
Был также награждён орденами Красного Знамени, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, а также рядом медалей.