Родился 8 сентября 1914 года в Петрограде, в рабочей польской семье. В 1931 году поступил в школу ФЗУ «Юный пролетарий» в Ленинграде. В 1934 году после окончания ФЗУ работал помощником паровозного машиниста, затем поступил учиться в Рабочий литературный университет им. А.М.Горького в Москве.
В 1935 году издательством «Советский писатель» была издана первая книга стихов «Родина», затем сборник «Стихи» и «Дороги в мир».
Член Союза писателей СССР с 1939 года.
В годы Великой Отечественной войны служил военным корреспондентом в газетах Карельского, Третьего Украинского и Второго Дальневосточного фронтов. Войну закончил на Дальнем Востоке. В сборниках поэта отражены его фронтовые пути, проходящие на суровом Севере, на Дунае, на озере Балатон, в горах Австрии и в маньчжурских долинах, на Южном Сахалине, Карельском, Третьем Украинском, Втором Дальневосточном фронтах. В Беломорске вышли его стихотворные сборники: «Рассказы северных гор» (1942), «Красноармейские стихи» (1943), «Рассказ о русском богатыре» (1943) года.
Автор многочисленных сборников стихов, поэм, пародий (в частности, цикл «Колючая антология»), фельетонов и эпиграмм. Как отметил Всеволод Рождественский в предисловии к сборнику Б. Кежуна «Пути-дороги дальние» «…поэту свойственно чувство юмора, мягкой иронии. Помимо своих основных тем, он разрабатывает довольно редкий жанр литературной пародии, создает целую галерею сатирических портретов в духе дружеского шаржа… Содержание сборников Б.Кежуна многообразно…среди всего этого тематического многообразия наиболее значительной и широкой является…военная тема, особенно близкая автору и в прошлом и в настоящем.»
Переводил стихи украинских, белорусских, эстонских, литовских поэтов, а также поэтов Болгарии, Польши, Сербии, Чехословакии.
На стихи Б.Кежуна писали музыку В.Сорокин, Д.Прицкер, Е.Овчинников и другие композиторы.В Ленинградской области, на берегу Ладожского озера на мемориале «Разорванное кольцо», посвященном «Дороге жизни» и входящем в Зелёный пояс Славы, выбиты строки Б.Кежуна:
Потомок, знай: в суровые года,
Верны народу, долгу и Отчизне,
Через торосы ладожского льда
Отсюда мы вели дорогу Жизни,
Чтоб жизнь не умирала никогда.
В 1985 году вышел последний сборник «Партизанская слава», подготовленный Б.Кежуном и завершенный после смерти поэта его женой, ветераном войны Е.Д.Кежун. Сборник посвящен памяти воинов Великой Отечественной войны и является первой антологией советской партизанской поэзии и лучших произведений о партизанах, созданных поэтами в послевоенное время.