Родился в Москве. В 6 лет отец отвел Игоря в школу ЦСКА. 1-й тренер - Юрий Моисеев. Параллельно занимался в футбольной школе у Альберта Шестернева. Только в 13 лет определился, что станет хоккеистом.
Когда Игорю было 12 лет, семья пережила трагедию - погиб старший брат Игоря, который занимался в дубле московского «Спартака».
В 16 лет Вязьмикин попал в главную команду ЦСКА. В 1-й же игре за основу против «Сокола» забросил шайбу.
После юниорского ЧМ-86, где стал чемпионом и вошёл в символическую сборную, был заявлен на взрослый ЧМ-86 в одной тройке с Константиновым и Каменским. Однако за день до начала турнира получил травму ноги при отрабатывании игры в большинстве - в игровом моменте Константинов толкнул Гусарова, а тот наехал на ногу Вязьмикину. В итоге - 8 швов и запрет врачей на участие в ЧМ.
В 1989 году, после ухода из ЦСКА Моисеева, переходит в Химик. Всего в чемпионатах СССР - 182 игры, 50 шайб.
В 1990 году переходит в Эдмонтон Ойлерз, в клуб, который выбрал на драфте в 1987. При этом, при переходе в НХЛ пошёл конфликт и испортил отношения с главным тренером «Химика» Владимиром Васильевым.
Как признавался позже Вязьмикин, в «Эдмонтон» он попал в неудачный период - в период смены поколений. Из-за этого закрепиться в команде было невозможно, а проявить себя так и не дали (всего провел 4 игры, забросил 1 шайбу). Был отправлен в фарм-клуб из города Сидней, где провел сезон. Потом полгода играл в ИХЛ, в «Милуоки Эдмиралз», затем в фарм-клубе «Лос-Анджелес Кингз» - «Финиксе».
В итоге, поняв, что в НХЛ ему не попасть, уехал играть в Данию («Рунгстед»), позже играл в Италии, в одной команде с Сергеем Сорокиным - в «Фассе». В сезоне 1996/97 играл за «Ильвес» у Владимира Юрзинова-младшего.
В 1997 году вернулся в Россию, выступал за ХК ЦСКА и «Северсталь» в 1998-99 гг. Всего в эти два сезона 43 матча, 9 голов, 11 передач.
В 2000-х годах работал тренером, был наставником молодёжного состава московского «Спартака».
В последние годы тяжело болел, скончался 30 октября 2009 года. Похоронен на Лианозовском кладбище в Москве.