Родился 3 июня (14 июня по новому стилю) 1774 года (по другим данным 1775 года) в Москве в дворянской семье военного - генерал-майора И. А. Вельяшева-Волынцева, преподавателя военных и математических наук.
Обучался в Благородном пансионе при Московском университете, был членом Дружеского общества любителей словесности. В годы учёбы писал первые свои стихи, которые были опубликованы.
После учёбы находился на военной службе - в 1785 году был записан в Преображенский полк, но служил, в артиллерии, преимущественно в инженерных частях (понтонные роты). В 1800 году вышел в отставку в чине полковника и посвятил себя литературной работе. В 1805-1807 годах был предводителем дворянства Угличского уезда Ярославской губернии. Вельяшев-Волынцев был одним учредителей (в 1811 году) и членов Общества любителей российской словесности при Московском университете. В последние годы жизни он увлекся историей, с 1816 года был членом Московское общество истории и древностей при Московском университете.
Умер 26 мая (7 июня по новому стилю) 1818 года В Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Дмитрий Иванович составил и издал в Москве «Словарь математических и военных наук» (1808, 2 тома); перевел на русский с французского и немецкого языков много пьес; также перевел мемуары известного немецкого драматурга и актера А. В. Иффланда - «Мое театральное поприще» (1816). Писал стихи, басни и пьесы. В 1810-1812 годах издавал журнал «Талия» для любителей театра, в котором печатались его переводные пьесы.