Выступления за РоссиюФигурным катание начал заниматься в 4 года в детской спортивной школе «Москвич». В 9 лет выиграл Кубок Венгрии. В 10 занял третье место на российском детском турнире «Хрустальный конёк». Затем, получил травму - сложный перелом ноги. Долго восстанавливался, стоял вопрос о расставании со спортом.
В сезоне 2002-2003 сменил тренера. Новым наставником стала Марина Кудрявцева. В сезоне 2007-2008 вышел на международный уровень. Занял вторые места на этапах юниорского Гран-при в Хорватии и Румынии, в финале Гран-при стал 7-м. Выиграл чемпионат России среди юниоров 2008 года, на «взрослом» чемпионате России стал 7-м и такое же место занял на чемпионате мира среди юниоров.
В сезоне 2008-2009 снова занимал вторые места на этапах Гран-при (в ЮАР и Чехии), а вот в финале стал уже четвёртым. Второй раз выиграл чемпионат России среди юниоров, во «взрослом» чемпионате не участвовал. Как победитель юниорского первенства страны должен был отправиться на чемпионат мира среди юниоров, но за неделю до соревнования заболел ветрянкой и вынужден был отказаться от участия, вместо него поехал запасной - Станислав Ковалёв.
Весь сезон 2009-2010 годов Иван был вынужден пропустить из-за травм. Понимая сложность выступления за сборную России, где идут постоянные подковёрные игры, Бариев принял решение в 2013 году выступать за сборную Италии, благо у него было итальянское гражданство, где выступает под фамилией своей матери Ригини.
Выступления за ИталиюНекоторое время его наставником был Николай Морозов. Затем его сменил Олег Васильев. Летом 2014 года Иван перебрался в Оберстдорф, где стал заниматься у Михаэля Хута. На московском этапе Гран-при 2014 года, где Ригини дебютировал, он занял предпоследнее место. Однако улучшил свои спортивные достижения в короткой программе и сумме. То же самое он сделал и на последнем этапе Гран-при в Осаке. В декабре того же сезона Иван выступил на хорватском турнире Золотой конёк Загреба 2014, где улучшил вновь свои спортивные достижения в сумме и короткой программе. Очень неплохо Иван выступил на европейском чемпионате в январе 2015 года в Стокгольме. Он превосходно откатал произвольную программу (улучшив свои достижения в ней и сумме) и завоевал место в континентальной десятке. Тем самым на следующий год Италия получила два места на чемпионате Европы. Однако на чемпионате мира в Шанхае его ждало фиаско, он выступал первым и не сумел отобраться в произвольную программу.