Алексей Мурыгин родился в Хабаровске 16 ноября 1986 года.
Начинал заниматься хоккеем в школе родного «Амура», выбрал позицию вратаря. Дебютировал во второй команде хабаровчан по ходу сезона 2005/2006, в регулярном чемпионате сыграл 33 матча, пропустив 108 шайб. Дублеры «Амура» выступили не очень удачно, заняв последнее место в дивизионе «Сибирь – Дальний Восток» третьей по силе российской лиги.
Следующий сезон тоже начинал в «Амуре-2», но уже в конце первого месяца «регулярки» был вызван в главную команду, а его дебют в Суперлиге случился 19 октября 2006 года в выездном поединке против СКА. Алексей появился на льду за 11 минут до окончания третьего периода при счете 4:1 в пользу «армейцев» и оставил свои ворота в неприкосновенности. Следующее появление Мурыгина на последнем рубеже хабаровчан случилось 28 октября в Казани, тогда, к 5-й минуте второго периода дальневосточники уступали со счетом 0:5, и Алексей Мурыгин вновь заменил Виталия Евдокимова. До окончания встречи игроки «Ак Барса» забросили четыре шайбы, завершив поединок со счетом 9:1. Во время ноябрьской паузе в чемпионате состав хабаровчан пополнил канадский голкипер Тайлер Мосс, так что Мурыгин вернулся во вторую команду. Всего в сезоне 2006/2007 сыграл за «Амур-2» 22 матча, пропустил 64 шайбы. Общекомандный результат оказался чуть лучше, чем годом ранее – 11 место из 14 команд в дивизионе «Сибирь – Дальний Восток».
В сезоне 2007/2008 появление Мурыгина на последнем рубеже хабаровской команды также носило эпизодический характер, несмотря на то, что он достаточно часто попадал в заявку в качестве второго голкипера. Собственно говоря, все три раза Алексей появлялся на льду именно по ходу встреч – против «Торпедо», «Магнитки» и «Динамо». Пропустил одну шайбу за 13 минут игрового времени. В то же время, сыграл всего 13 матчей за «Амур»-2, пропустив 44 шайбы, фарм-клуб дальневосточников занял девятое место в дивизионе «Сибирь - Дальний Восток».
В сезоне 2008/2009 Алексей Мурыгин был отдан в аренду в клуб высшей лиги – «Ермак» из Ангарска. Там он стал основным голкипером, выиграв конкуренцию у более опытного Федченко. По ходу регулярного чемпионата он принял участие в 41 игре, пропустив 99 шайб. По итогам регулярного чемпионата «Ермак» занял восьмое место в дивизионе «Восток», пробившись в плей-офф. В первом раунде Кубка Братины ангарчане оказали достойное сопротивление «Молоту-Прикамье», проиграв в решающем поединке, а Мурыгин защищал ворота во всех пяти встречах, пропустив двенадцать шайб.
Сезон 2009/2010 он также начинал в «Ермаке», провел в команде Высшей лиги практически половину регулярного чемпионата, отыграв 26 матчей и пропустив 66 шайб. В январе он был вызван в «Амур», впервые попал в заявку на матч КХЛ 7 января 2010 года. Его дебют в лиге состоялся 11 января в домашнем поединке против новокузнецкого «Металлурга», когда он появился на льду по ходу второго периода после травмы Тайлера Мосса. За оставшееся до сирены время гости нанесли по его воротам восемь бросков, Алексей справился со всеми, но в серии буллитов его команда все же уступила. Зато уже во втором поединке он сумел одержать победу – «Амур» на выезде обыграл «Салават Юлаев», а голкипер отразил 36 бросков из 38. Новое достижение по количеству спасений Мурыгин установил уже 18 января в поединке против «Барыса», успешно вступив в игру 40 раз, пропустив три шайбы. Правда, уже на следующий день Алексей пропустил 7 шайб от того же «Барыса», что стало для него худшим результатом по ходу сезона. Еще через матч он снова записал на свой счет 40 отраженных бросков, но теперь этого для победы не хватило – «Автомобилист» одержал победу в серии буллитов со счетом 3:2. В целом, Мурыгин воспользовался своим шансом, и 28 января впервые отыграл на «ноль», не пропустив ни одной шайбы в выездном поединке против «Трактора». Концовка регулярного чемпионата ознаменовалась для Алексея Мурыгина еще одним личным достижением – в выездной встрече с «Торпедо» он отразил 42 броска, позволив хабаровчанам выиграть со счетом 4:2. Всего в сезоне 2009/2010 Мурыгин сыграл за «Амур» 14 матчей, одержал четыре победы, пропустив 43 шайбы. Его коэффициент надежности составил 3,24, а процент отраженных бросков 90,3. Что касается общекомандного результата, то «Амур» занял 10-е место в Восточной конференции, остановившись в четырех очках от попадания в «восьмерку».
После достаточно неплохого дебюта в КХЛ голкипер получил свой шанс в «Амуре» и на следующий сезон, составив вратарскую бригаду хабаровчан вместе с канадцем Янном Дани. В первых четырех встречах регулярного чемпионата он выполнял функции бэкапа. Первое появление Мурыгина на последнем рубеже состоялось 17 сентября в поединке с минским «Динамо», он отразил 42 броска, но этого не хватило для победы. Первого успеха «Амур» с российским голкипером в воротах добился 12 октября, а сам Алексей появился уже по ходу встречи с «Автомобилистом» и отразил 17 бросков из 18. Следующими знаковыми матчами вратаря стали поединки против «Ак Барса», у которого хабаровчане сумели отобрать очки, проиграв в овертайме, а сам Мурыгин отразил 38 бросков, затем он совершил 50 спасений в матче против «Авангарда», но это не принесло даже одного балла в копилку команды, как и 45 сэйвов в игре с «Барысом». Всего по ходу того сезона у Мурыгина было семь матчей, в которых он вступал в игру 30 и более раз, но во всех поединках «Амур неизменно уступал. Всего в 32 проведенных матчах Алексей Мурыгин одержал шесть побед, пропустил 83 шайбы, его коэффициент надежности составил 3,09, а процент отраженных бросков – 91,3. Хабаровчане снова остались за чертой плей-офф, заняв одиннадцатое место на Востоке. Уже после окончания сезона Алексей Мурыгин был вызван во вторую сборную России для участия в турнире, проходившем в Словении. Там принял участие в двух играх, пропустил три шайбы.
В сезоне 2011/2012 партнером Мурыгина по вратарской бригаде «Амура» вновь был иностранец, на этот раз, словак Ян Лашак. Россиянин снова начинал регулярный чемпионат в роли номинально второго вратаря, но уже в середине сентября Мурыгин стал играть с Лашаком по очереди, а из восьми первых матчей выиграл шесть, в четырех случаях отражал более 30 очков, во встрече с «Барысом» записал на свой счет 46 спасений. Отдельно стоит отметить, что за первые два месяца «регулярки» Алексей записал на свой счет два «сухаря», причем он не позволил отличиться игрокам «Ак Барса» и «Авангарда». В дальнейшем вратари «Амура» продолжали играть почти строго по очереди, так продолжалось до концовки регулярного чемпионата, где финский тренер хабаровчан Ханну Йортикка решил сделать ставку на Алексея и, в целом, не прогадал: из шести заключительных встреч голкипер выиграл три, в том числе, отыграл на «ноль» против «Магнитки». Всего Алексей принял участие в 29 матчах регулярного чемпионата 2011/2012, одержал 13 побед, пропустил 64 шайбы, его коэффициент надежности составил 2,21, а процент отраженных бросков – 93,0. По последнему показателю он разделил первое место в лиге с еще двумя голкиперами. Как уже было отмечено, Мурыгин внес существенный вклад в успех «Амура», который впервые пробился в плей-офф КХЛ, заняв седьмое место на Востоке. Соперником хабаровчан по первому раунду стал «Авангард», выигравший серию в четырех встречах, однако в каждой из игр Алексей Мурыгин давал своей команде шанс на успех, отражая в среднем по 35 бросков за матч.
Сезон 2012/2013 Мурыгин начинал в качестве основного голкипера «Амура», но с первых матчей стало ясно, что год и ему, и его партнерам предстоит непростой. В каждой из встреч на долю вратаря выпадало достаточно много работы, и даже несмотря на то, что процент отраженных бросков у Алексея по итогам отдельно взятого матча редко опускался ниже 90%, в игре ему иногда не хватало стабильности, что вкупе с не самыми успешными действиями игроков обороны хабаровчан, приводило к достаточно большому количеству пропущенных встреч в некоторых поединках. Сезон у Мурыгина получился коротким по причине травмы, полученной в начале декабря, из-за нее голкипер пропустил остаток регулярного чемпионата. Всего в 22 матчах Алексей одержал семь побед, пропустив 57 шайб, его коэффициент надежности составил 2,63, а процент отраженных бросков 91,0.
Сезон 2013/2014 стал для Алексея Мурыгина уже пятым на уровне КХЛ, он начинал его в составе бригады с финским голкипером Микой Ярвиненом. Можно сказать, что они тоже чередовались на последнем рубеже «Амура», а в первой половине сезона Мурыгин играл во всех встречах, когда попадал в заявку. К ноябрю на его счету уже было шесть матчей, в которых он отразил 30 и более бросков, однажды на этом участке «регулярки» сумел сыграть на «ноль», сдержав игроков пражского «Льва». В восьми матчах из двенадцати, проведенных в период с ноября по декабрь, он вступал в игру более 30 раз, а самым удачным для него стал матч против «Локомотива», в котором Алексей совершил 44 спасения, став главным героем в победном для «Амура» поединке. В итоге Мурыгин принял участие в 31 игре, одержал 7 побед, пропустил 90 шайб, его коэффициент надежности составил 2,98, а процент отраженных бросков – 91,4. «Амур» вновь завершил сезон за пределами зоны плей-офф, заняв 11-е место в Восточной конференции.
Начало регулярного чемпионата 2014/2015 получилось у Мурыгина скомканным по причине травмы, полученной уже на старте сезона. Он сыграл в первом матче хабаровчан, затем же пропустил полтора месяца. Второй его матч пришелся на поединок с «Локомотивом», и Алексей был заменен по ходу второго периода после трех пропущенных шайб. К концу октября он окончательно оправился от повреждения, а ноябрь начался для Мурыгина с рекордного поединка против «Медвешчака», по ходу которого он отразил 56 броском по своим воротам. По ходу этого месяца Алексей трижды совершал за игру 50 и более спасений, а во встрече с «Магниткой» отразил 59 бросков, чем внес существенный вклад в победу «Амура (2:1). К середине декабря Алексей Мурыгин был лидером КХЛ по проценту отраженных бросков и незадолго до окончания срока обмена перешел в магнитогорский «Металлург», впервые покинув родной Хабаровск. Дебют на новом месте получился у голкипера не слишком успешным, он появился по ходу встречи с «Барысом», пропустив две шайбы после шести бросков. Зато уже во втором своем поединке – против тольяттинской «Лады» - отыграл на «ноль», отразив 26 бросков, а затем совершил 38 спасений в поединке против «Нефтехимика», был признан лучшим вратарем недели в КХЛ. Суммарно провел 25 матчей в регулярном чемпионате, пропустил 51 шайбу, его коэффициент надежности составил 2,38, процент отраженных бросков – 93,4. В плей-офф на лед не выходил, во всех встречах выполнял функции сменщика Кошечкина.
После окончания сезона был вызван в сборную России, вместе с которой начинал подготовку к Чемпионату Мира, сыграл в одном матче Еврочелленджа, пропустив две шайбы во встрече со швейцарцами.
4 мая 2015 года подписал трехлетний контракт с ярославским «Локомотивом».