До 1917 годаРодилась 6 июня (18 июня) 1886 года в посёлке Нязепетровского завода в Красноуфимском уезде Пермской губернии в старообрядческой семье. Отец был учителем и когда он умер, матери с двумя дочерьми - Анной и Марией - пришлось перебраться в Екатеринбург. Сёстры поступили в женскую гимназию, где познакомились с Клавдией Новгородцевой - будущей женой Якова Свердлова - которая увлекла девушек марксистскими идеями. В 1904 году они обе вступили в нелегальный ученический куржок РСДРП. После окончании гимназии в 1905 году Анна год проработала учителем в поселке Шемаха, затем вернулась в Екатеринбург, где став членом РСДРП, продолжила революционную деятельность. Уже на следующий год была арестована по делу Уральского областного комитета РСДРП и после полутора лет в тюрьме в 1909 году отправлена на вечное поселение в Сибирь. Ссылку отбывала в с. Бельское Енисейской губернии, откуда в 1910 году бежала. Добравшись под чужим именем до Санкт-Петербурга, уехала во Францию, а затем за океан - в США, где жила в Нью-Йорке и участовала в работе русской группы «Социалистической партии Америки». Вышла замуж за революционера из Перми Александра Минкина. В 1913 году у них родился сын Женя.
1917-1929После Февральской революции в апреле 1917 года вернулась в Россию - сначала в Петроград, а оттуда в Екатеринбург. Больше года - с мая 1917 по июнь 1918 года - работала секретарём Союза рабочих-металлистов. В марте 1918 года участница IV Всероссийского съезда Советов. В годы Гражданской войны работала в Москве в секретариате ЦК ВКП(б). В 1922-1924 гг. секретарь 1-го райкома РКП(б) в Екатеринбурге. В 1923 году делегат XII съезда РКП(б), затем на Уральской областной партийной конференции избрана членом Президиума Контрольной комиссии и Рабоче-Крестьянской Инспекции. Проработала там до февраля 1929 года, возглавляя комиссию по социально-культурным вопросам.
На посту председателя Свердловского горсоветаС марта 1929 до ноября 1930 года Анна Бычкова являлась председателем Свердловского городского совета рабочих, крестьянских и красноармейских депутатов. В период её работы на этом посту в городе был пущен первый трамвай (7 ноября 1929 года), открылся научно-исследовательский институт механической обработки и обогащения полезных ископаемых - Уралмеханобр (13 ноября 1929 года). Также начала работать обувная фабрика, через Свердловск прошла воздушная линия Москва - Иркутск (самолеты делали промежуточную посадку на Уктусском аэродроме). Почти полностью ликвидирована безработица, открыта сеть из 136 столовых. 1 мая 1930 года в Свердловске состоялась первая на Урале демонстрация звукового кино, в сентябре принял первых студентов Индустриально-педагогический институт, открыт автодорожный техникум, в октябре начался первый театральный сезон драматического театра.
Одновременно шла активная антирелигиозная деятельность. 17 февраля 1930 года А. Н. Бычкова подписала распоряжение о сносе «для получения строительного материала» нескольких церквей города. Весной 1930 года были взорваны Екатерининский и Кафедральный соборы, Свято-Духовская церковь (Большой Златоуст). Ряд культовых зданий был закрыт для дальнейшего переоборудования для производственного использования.
В мае 1929 она участвует в V Всесоюзном съезде советов, а в 1930 она делегат XVI съезда ВКП(б).
С 1931 годаВ 1931 году А. Н. Бычкова возглавила незадолго до этого основанный Индустриально-педагогический институт, но уже в ноябре того же года была вызвана в Москву - для работы в ЦК Союза работников просвещения. Вскоре её назначили председателем ЦК Союза дошкольных работников. В 1937 году вышла её книга «Рядом с товарищем Андреем» о жене Якова Свердлова.
В 1938 году Анна Бычкова была лишена ответственного поста и исключена из ВКП(б) «за потерю бдительности» - её сестру Марию Уфимцеву репрессировали как участницу «левой оппозиции». Она идёт швеёй-мотористкой на Московскую швейную фабрику, а в 1941, с началом войны вместе с семьёй сына Евгения, ставшего инженером оборонного предприятия, эвакуируется в Свердловск. С 1942 до ухода на пенсию в 1958 году работала библиотекарем в городской клинической больнице № 1. В 1949 году с отличием закончила заочно Московский библиотечный институт.
В 1955 году восстановлена в рядах КПСС, в 1956 году ей вручён первый орден Ленина (ещё два - в 1966 и 1976), а в 1958 она получает статус персонального пенсионера союзного значения. Делегат XXII (1961) и XXIII (1966) съездов КПСС. В 1966 году стала первым Почётным гражданином Свердловска. В 1976 году ей присвоено звание Героя социалистического труда.
Скончалась 5 июля 1985 года в Свердловске. Похоронена на Широкореченском кладбище.