С.Ю. Почкунов родился в Алма-Ате, где в это время в "Динамо" играл его отец - Ю.В. Почкунов. Семья много переезжала в годы игровой и тренерской карьеры отца. Он и стал его первым тренером в ДЮСШ «Маяк» (Краснотурьинск).
В 1998 году в составе сборной Казахстана Сергей завоевал бронзу чемпионата мира среди младших юношей.
Позднее Сергей играл в клубах «Маяк» (Краснотурьинск), «Зоркий» (Красногорск), «Уральский трубник» (Первоуральск), «Енисей» (Красноярск).
В 2010 году в составе «Енисей» (Красноярск) стал бронзовым призёром чемпионата.
С 2011 года играет в хабаровском СКА-«Нефтянике».
Выступает за сборную Казахстана.
Бронзовый призёр чемпионата мира 2012, 2013, 2014 и 2015 годов.