Лев Борисович Бёме родился 26 февраля 1895 года во Владикавказе. Семья Бёме отличалась своими либеральными взглядами и высокой образованностью. Маргарита Ричардовна, тетя Льва Бёме, вела в переписку с Львом Толстым и многими поэтами и писателями Серебряного Века. Отец - Борис Ричардович Бёме, был выпускником юридического факультета Московского университета, занимал должность присяжного поверенного и был одним из лучших адвокатов на Северном Кавказе. В 1930-е годы он был арестован и сослан в Казахстан, где работал пастухом. Там же он и погиб в 1940 году, замерзнув в степи с отарой овец.
Лев Борисович с самого детства увлекся зоологией и был страстным охотником. В 1912 году поступил на естественное отделение физико-математического факультета Московского университета. Однако, в 1913 году, по воле своего отца, перевёлся на первый курс юридического факультета. Его он окончил в 1917 году. Отец осознав, что увлечение сыном зоологией не прошло, послал его в путешествие по Западной Европе. В дальнейшем планировалось кругосветное путешествие, которое так и не осуществилось. В 1920 году Лев Бёме восстановился на второй курс естественного отделения физико-математического факультета Московского университета, которое он окончил в 1924 году. Будучи студентом, Лев Борисович вступил в Московское Общество Испытателей Природы и до конца жизни оставался его членом. Во время студенческой учебы занимался в музее орнитологией под руководством Сергея Ивановича Огнева.
После окончания университета вернулся во Владикавказ и начал работать на кафедре зоологии Горского педагогического института сначала на должности ассистента, доцента (1928), а с 1931 года - профессора и заведующего кафедрой. Позднее стал деканом факультета естествознания.
В 1937 году Лев Бёме без защиты диссертации получает ученую степень кандидата биологических наук. В 1932 году он организовывает зоологическую станцию при станице А. Невской, на которой совместно со своими научными руководителями работали студенты-зоологи.
В 1938 году Лев Бёме по ложному доносу был арестован и сослан в Казахстан, где работал преподавателем Укомбината и техноруком по защите растений в Карагандинском совхозе № 1. В 1946 году его досрочно освобождают в связи с болезнью и он возвращается в Орджоникидзе (бывший Владикавказ). Здесь он вновь работает в Северо-Осетинском государственном пединституте на должности профессора и заведующего кафедрой.
Однако, в 1948 году его снова ссылают, на этот раз в Новозыбков Брянской области, где он проработал профессором зоологии в Новозыбсковском педагогическом институте вплоть до своей смерти.
Всю свою жизнь Бёме посвятил зоологии, особенно его интересовали птицы. Последние годы своей жизни он посвятил изучению животных Казахстана и Брянской области. Является автором более 50 научных работ. Также является автором научно-популярных книг. Наиболее крупные из них - «Птицы Северо-Кавказского края» (1935), «Дикие звери Северо-Кавказского края» (1937), «По Кавказу» (1950) и автобиографические «Записки натуралиста» (1954). С детства, он увлекался ловлей и содержанием в птиц неволе. Стремясь передать свой опыт он написал две книги о содержании птиц в клетках: «Жизнь птиц у нас дома» (1951), которая дважды переиздавалась, и «Певчие птицы» (1952), которая за три года выдержала два издания.
Был членом-учредителем Всероссийского общества охраны природы.
Бёме собрал многочисленные зоологические коллекции. На Северном Кавказе он был основателем зоологического музея Горского педагогического института. Его сборы птиц с Кавказа - всего более 1200 экземпляров, сделанные им в начале XX века, сейчас хранятся в Зоологическом музее МГУ.