Начала заниматься художественной гимнастикой в ДЮСШ города Петрозаводска с пяти лет. Её первыми тренерами были Н. Г. Галковская, В. Л. Лешкович и Г. А. Калашникова.
В 2008 году, после того, как команда, выступавшая на Олимпиаде в Пекине, в полном составе завершила спортивную карьеру, Анастасия Максимова вошла в состав сборной России по групповым упражнениям.
На дебютном для неё чемпионате мира в Миэ в 2009 году выиграла три медали - «золото» и две «бронзы» (вместе с Натальей Пичужкиной, Екатериной Малыгиной, Ульяной Донсковой, Дарьей Щербаковой и Дарьей Королёвой).
С 2013 года Максимова числится в основном составе сборной России по групповым упражнениям. Команда, в которую помимо неё вошли Анастасия Близнюк, Ксения Дудкина, Ольга Ильина, Анастасия Назаренко и Елена Романченко, стала абсолютным победителем на Универсиаде 2013 года в Казани, завоевав три «золота» из трёх возможных, однако на чемпионате мира в Киеве в том же году выступила неудачно, выиграв только одну золотую медаль (упражнение с тремя мячами и двумя лентами), заняв третье место в многоборье и пятое в упражнении с булавами. После этого чемпионата главным тренером Ириной Александровной Винер было принято решение о наборе новой команды. Анастасия Максимова оказалась единственной гимнасткой, кто остался в обновлённом составе.
В Баку, на чемпионате Европы 2014 года, сборная России завоевала три медали в групповых упражнениях: две золотых (многоборье и упражнение с двумя лентами и тремя мячами) и одну серебряную (упражнение с пятью парами булав).