Могила Гайлиша на Серафимовском кладбище Санкт-Петербурга.
В 1931 году окончил в среднюю школу. Учёбу продолжил в Ленинградском политехническом институте, на физико-механическом факультете. Будучи студентом, работал с 1935 года в лаборатории радиоматериалов, где разработал метод расчета антенных изоляторов, нашедший практическое применение.
С 1936 году, после окончания института, работал лаборантом, конструктором, начальником лаборатории в научно-исследовательском институте. В 1942 году назначен главным инженером предприятия, созданного на базе НИИ - Государственный союзный завод № 436 (Завод радиотехнических полуфабрикатов № 436). Руководил созданием элементов для портативного приемопередатчика «Север», который в годы блокады Ленинграда выпускался заводом им. Козицкого. В 1945 году вступил в ВКП(б)/КПСС.
В послевоенное время работал главным инженером и зам. генерального директора по науке НИИ-34 (в настоящее время - ОАО "НИИ «Гириконд»). Основное направление деятельности института: разработка материалов и деталей для радиотехнической и радиолокационной аппаратуры. Выполнил ряд теоретических исследований, имеющих большое значение для развития отечественного приборостроения.
С 1975 года работал в Ленинградском электротехническом институте, руководил кафедрой «Конструирование и технологии изготовления радиодеталей». Защитил докторскую диссертацию.
Похоронен на Серафимовском кладбище города Санкт-Петербург.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 июня 1961 года за выдающиеся заслуги в создании образцов ракетной техники и обеспечении успешного полета человека в космического пространство главному инженеру НИИ-34 Государственного комитета Совета Министров СССР по радиоэлектронике Гайлишу Евгению Антоновичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
Награждён орденами Ленина, Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, «Знак Почета», медалями. Лауреат Сталинской премии (1949, за организацию производства высококачественного радиооборудования).