Аким Тамиров родился, по одним данным, в Тифлисе, по другим - в Баку в армянской семье. В 19 лет, приехав, по приглашению Ричарда Болеславского, в Москву, Тамиров поступил в школу при Художественном театре. По окончании школы стал актёром МХТ.
В 1923 году, во время гастролей театра в США вместе с группой других актёров решил не возвращаться на родину.
В первые годы в США Тамиров играл в труппе Н. Балиева «Летучая Мышь» (Le Chauve-Souris), где познакомился с будущей женой - актрисой Тамарой Шейн; затем открыл Академию сценического грима, которая обанкротилась в 1929 году. Тамиров пытался зарабатывать на жизнь даже за баранкой такси.
Карьера Тамирова в Голливуде началась в 30-х годах, после усиленного изучения английского языка. Первое время он играл маленькие роли, которые не указывали в титрах, но успех фильма «Королева Кристина» (1933), где Тамирову досталась очередная маленькая роль, обратила на него внимание режиссёров. В 1934 году Тамиров снялся в тринадцати фильмах, в следующем году - в пятнадцати.
В 1936 году Тамиров впервые был выдвинут на кинопремию «Оскар» и заключил семилетний контракт со студией Парамаунт. Илья Ильф и Евгений Петров побывавшие в США в 1936 году, в книге «Одноэтажная Америка» рассказали о встрече с бывшим русским актёром, не назвав его по имени: «Когда Художественный театр был в Америке, один совсем молоденький актёр остался сниматься в Голливуде. Остался на три месяца, а сидит уже больше десяти лет. Он относится к числу тех, которые преуспевают. Дела его идут в гору. Он получает пятьсот долларов в неделю».
Из-за сильного акцента Тамирову приходилось играть кого угодно, только не американцев. В начале 50-х годов, когда Америку захлестнула волна маккартизма, Тамиров на несколько лет покинул страну; снимался в Англии, Франции, Германии, Испании, Италии, Монако, но в конце концов вернулся в Голливуд. За сорок лет работы в Голливуде он снялся в 140 фильмах.
Аким Тамиров умер в Калифорнии от рака в 1972 году.