Григорий Абрикосов родился в семье актёра Андрея Абрикосова 30 августа 1932 года.
В 1954 году окончил Щукинское театральное училище (художественный руководитель - А. А. Орочко). В 1953-1954 - артист театра имени Вл. Маяковского. В 1954-1993 - один из ведущих актёров театра им. Евг. Вахтангова, где играл вместе с отцом. На этой сцене он проработал до конца своих дней.
Много снимался в кино. Исполнитель роли атамана Грициана Таврического из кинокомедии «Свадьба в Малиновке».
Похоронен на Новодевичьем кладбище рядом с родителями. Очень скоро вместе с ним была похоронена его жена, театральная актриса Марина Михайловна Кузнецова (1925-1996).