Родился 17 (30) августа 1903 года в городе Темрюк (ныне Краснодарский край, Россия) в семье рыбака. Русский. Член ВКП(б) с 1928 года. Вместе с матерью батрачил на табачных плантациях и одновременно учился в начальном двухклассном училище.
В 1919 году добровольно вступил в ряды Красной армии. Участник Гражданской войны. Принимал участие в боях против деникинцев и врангелевцев.
После демобилизации Иван Бевз с 1927 по 1929 год находился на комсомольской работе в городе Жмеринка. С 1929 по 1937 год - на партийной работе в городе Виннице и Могилёве-Подольском, избирается членом горкома партии и депутатом городского Совета. С 1937 года и до начала Великой Отечественной войны работал директором Винницкого драматического театра, а затем директором городской библиотеки.
В первой половине июля 1941 года И. В. Бевз решением Винницкого обкома КП(б)У был утвержден руководителем подпольной партийной организации в городе Виннице. 19 июля 1941 года немецко-фашистские войска захватили Винницу. Базой для подпольной деятельности И. В. Бевза стала городская библиотека имени Н. К. Крупской на Депутатской улице, где работали проверенные, надежные люди. С некоторыми из них И. В. Бевз откровенно говорил ещё до оккупации, а уже через месяц после оккупации города весь персонал библиотеки активно выполнял его задания, постепенно привлекая к подпольной работе новых людей. Подпольщики достали радиоприемник и печатную машинку, на которой печатали сообщения Совинформбюро, листовки, и распространяли их среди населения.
К концу 1941 года были созданы подпольные группы на швейной фабрике, мясокомбинате, водоканале, железнодорожной станции. Подпольная партийная организация во главе с И. В. Бевзом руководила не только подпольными группами в городе Виннице, но и поддерживала связь с целым рядом населенных пунктов Немировского, Турбовского, Погребищенского, Казатинского, Гейсинского и Дашевского районов Винницкой области. Для руководства этими подпольными группами был создан подпольный центр во главе с И. В. Бевзом, объединивший в начале 1942 года 17 групп, насчитывавших более 300 подпольщиков.
Дом, где в 1941-1942 годах размещалась штаб-квартира подпольного партийного центра Винницы, которым руководил И.В. Бевз
Подпольная партийная организация Винницы проводила большую политическую и агитационную работу среди населения, направленную на срыв действий оккупантов. Основными формами антифашистской деятельности подпольщиков были изготовление и распространение листовок. 23 февраля 1942 года И. В. Бевз записал текст переданного по радио приказа Верховного Главнокомандующего, а работники библиотеки напечатали 150 экземпляров листовок и расклеили их по городу. Подпольщики распространяли листовки также и среди крестьян окрестных сел, призывая их к саботажу сельскохозяйственных работ, срыву заготовок продуктов. В листовках они удачно использовали остроумные народные пословицы и частушки.
В 1942 году винницкие подпольщики по указанию партийного центра сожгли склад мясокомбината, где хранилось 100 тонн продовольствия для немецкой армии. Они же организовали массовый побег военнопленных из лагерей и переправу их в партизанские отряды, вывели из строя ряд предприятий, которые оккупанты хотели использовать для своих нужд.
В июле 1942 года И. В. Бевз вместе с группой товарищей был арестован фашистами и 13 января 1943 года расстрелян. Работу подпольной организации продолжила отважная комсомолка-подпольщица Ляля Ратушная.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 мая 1965 года за выдающиеся заслуги, мужество, героизм, проявленные в борьбе против немецко-фашистских захватчиков в период Великой Отечественной войны руководителю Винницкой городской подпольной организации Бевзу Ивану Васильевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.