Учился в средней школе № 516 г. Москвы. С первого класса занимался в Детском театре кукол при заводе «Динамо», а с третьего - в Театральной студии Дома Культуры ЗИЛ.
7 ноября 1982 года Алексея показали по центральному телевидению. В прямом эфире показывалось торжественное заседание правительства, посвящённое Дню Октябрьской революции, где с докладом выступал Брежнев (за 3 дня до смерти). После его доклада на сцену вышло несколько пионеров, которые читали стихи, лозунги, пели песни. Среди выступающих был и Алексей.
Тогда же, в 1982 году, Алексей участвовал в московском общегородском конкурсе чтецов, где занял второе место. На конкурсе чтецов его заметил ассистент режиссёра художественного фильма «Чучело» (1983) и предложил поучаствовать в кинопробах. Хотя на пробах Алексей не прошёл и сниматься в «Чучеле» вместо него пригласили другого мальчика, но на киностудии им. Горького, где проходили кинопробы, в актёрской базе остались его фотографии.
Через несколько месяцев после кинопроб Алексея неожиданно пригласили сняться в популярном детском юмористическом киножурнале «Ералаш» (Первая роль Алексея Фомкина была в выпуске № 36 «Ералаша» - «Аукцион»), где его заметил режиссёр Павел Арсенов и предложил главную роль в художественном фильме «Гостья из будущего». Параллельно со съёмками в этом, прославившем его, фильме Алексей продолжал сниматься в короткометражных выпусках «Ералаша». После завершения съёмок «Гостьи из будущего» Алексей снялся в роли второго плана в телевизионном фильме «Повод» (1986).
В 1986 году окончил школу, но из-за постоянных съёмок аттестат не получил (десять классов окончил со справкой «прослушал»). В 1987 году снялся в одной из главных ролей в фильме «На своей земле». После этого фильма полгода предложений о съёмках не получал, сильно расстроился и решил пойти в армию. В военкомате был отправлен для прохождения военной службы в город Ангарск. После ухода в армию Алексею начали поступать предложения от режиссёров, но принять их он уже не мог. На этом его кинокарьера закончилась.
После службы в армии Алексей поступил на работу в МХАТ им. Горького, но через три месяца был уволен за систематические прогулы. После театра он пошёл работать на стройку маляром, но вскоре уволился и оттуда.
Покинул Москву и уехал во Владимирскую область, в небольшую деревню Безводное, где поселился один в пустующем доме. В деревне он устроился на работу, стал мельником. Во Владимире Алексей Фомкин познакомился с будущей женой Леной. После свадьбы переехал к жене из Безводного во Владимир.
22 февраля 1996 года Алексея с супругой друзья пригласили в гости на празднование Дня Советской Армии. В ночь с 23 на 24 февраля 1996 квартира внезапно загорелась, всем, кроме Алексея, удалось спастись. Во время пожара он спал и поэтому не смог вовремя покинуть квартиру и умер, задохнувшись дымом.
Похоронен под Владимиром, на городском кладбище «Улыбышево». В 2012 году на кладбище установлены указатели к могиле Фомкина.