Жан Буш начал заниматься фигурным катанием в возрасте 8 лет в челябинской СДЮШОР «Тодес». С 2004 по весну 2010 года с ним работала тренер Лариса Николаевна Яковлева. Весной 2010 года Жан переехал в Санкт-Петербург для работы с Олимпийским чемпионом Алексеем Урмановым.
Под руководством Урманова смог отобраться в финал юниорской серии Гран-при сезона 2010-2011 где занял 7-е место и завоевал бронзовую медаль на чемпионате России 2011 года. Так как у России на чемпионате Европы 2011 года было только два места, а на чемпионате мира - одно, то Жан не попал в сборную команду на эти соревнования. Став вторым на юниорском первенстве страны он был направлен на юниорский чемпионат мира, где занял 11 место.
Сезон 2011/2012 Жан начал с участия в турнире Nebelhorn Trophy, который стал его первым «взрослым» международным соревнованием, и где он занял шестое место. При этом в короткой программе Буш был третьим.
В начале октября 2011 года занял 8 место на турнире «Finlandia Trophy», при этом стал единственным участником турнира, удачно исполнившим прыжок в четыре оборота - в короткой программе исполнил каскад «четверной тулуп + двойной тулуп».
На чемпионате России 2012 года Жан Буш был третьим в короткой программе после Евгения Плющенко и Артура Гачинского, однако из-за ошибок в произвольной, где он занял 6-е место, в итоговом протоколе стал лишь 4-м, пропустив вперёд Сергея Воронова и войдя а сборную на чемпионат Европы 2012 лишь в качестве запасного.
Победив на первенстве России-2012 среди юниоров в Новогорске с огромным преимуществом - более 20 баллов, Жан Буш возглавил мужскую сборную России на чемпионате мира среди юниоров в Минске, где занял 5-е место.
Жан принял участие в командном чемпионате мира и стал там 10 в личном зачёте.
Сезон 2012-2013 Жан Буш начал на турнире Finlandia Trophy, где занял 5-е место. На Кубке Ниццы-2012 6-е место. На чемпионате России выступил неудачно занял лишь 12 место.
В июне 2013 Жан Буш перешел в ЦСКА к тренеру Соколовской Светлане Владимировне. В сезоне 2013-2014 Буш выступил в октяре на Ice Star занял 2-е место с суммой 215.66 баллов, на Coup de Nice 3-е место с суммой 226.3 баллов. В ноябре Volvo Open Cup 2013 5-е место с суммой 184.84 баллов. В Декабре выступил на зимней Универсиаде в Италии. Прокат в первый день был неудачен, но в произвольной программе Жан выступил очень прилично и ему немного не хватило до бронзовой медали.Зимняя универсиада 4-е место с суммой 200.16 баллов