Представитель древнего рода Бестужевых; родился 22 мая 1693 года в городе Москве, в семье сановника Петра Бестужева, который позднее был губернатором Нижнего Новгорода и приближённым императрицы Анны Иоанновны. Вместе со своим братом Михаилом Алексей обучался за границей в Копенгагене и Берлине.
В 1712 году он был отправлен в числе других лиц русского посольства на конгресс в Утрехт. После того с разрешения императора Петра I Алексей Петрович поступил на службу к курфюрсту Ганноверскому Георгу, который пожаловал его камер-юнкером. Когда курфюрст Георг I взошёл на английский престол, он отправил Бестужева в качестве посланника к Петру. Через три года Бестужев был отозван в Россию.
А. Бестужев-Рюмин в ссылке (1759)
В 1718 году поступил обер-камер-юнкером к вдовствовавшей герцогине курляндской, Анне Ивановне, но через два года был назначен резидентом в Данию.
В 1731 году его переместили резидентом же из Дании в Гамбург. Бестужев ездил в Киль, осмотрел архивы герцога Голштинского и вывез в Петербург много интересных бумаг.
В конце 1734 года Бестужев был перемещён снова в Данию. Благодаря расположению к нему Бирона Бестужев, едва приехав в Копенгаген, был аккредитован посланником при верхнесаксонском дворе и пожалован тайным, а в 1740 году, 25 марта, действительным тайным советником с повелением явиться в Петербург для присутствования в кабинете.
Бирону для противовеса графу Остерману нужен был ловкий человек, а таким и был Бестужев. В благодарность за это Бестужев содействовал в назначении Бирона регентом Российской империи на время малолетства Иоанна Антоновича.
8 ноября 1740 года пал Бирон. С падением его пострадал и Бестужев, который был заключён в Шлиссельбургскую крепость. Несмотря на старания запутать его, Бестужев совершенно оправдался, и его освободили, но только лишили должностей.
По вступлении на престол императрицы Елизаветы Петровны благодаря ходатайству своего друга, лейб-медика Лестока, Алексей Петрович в короткий промежуток времени в 1741-1744 годах был пожалован в вице-канцлеры, графы Российской империи, сенаторы и главные директора над почтами, орденом Святого апостола Андрея Первозванного и, наконец, великим канцлером.
Грамотой римского императора Франца I, от 2 (13) июня 1745 года, канцлер, сенатор, граф Российской империи, Алексей Петрович Бестужев Рюмин был возведён, с нисходящим его потомством, в графское Римской империи достоинство.
Возвращение графа Бестужева из ссылки. Екатерина II принимает его 12 июля 1762 года в петербургском Летнем дворце.
Наследник престола Пётр Фёдорович, почитатель Фридриха, ненавидел Бестужева; в свою очередь и Пётр Фёдорович был ненавидим канцлером, так что, когда родился Павел Петрович, то Бестужев вздумал лишить родителя престола и упрочить его за Павлом Петровичем под опекунством Екатерины. В 1757 году тяжкая болезнь постигла Елизавету. Бестужев, думая, что императрица уже не встанет, самовольно написал генерал-фельдмаршалу Апраксину возвратиться в Россию, что Апраксин и исполнил. Но Елизавета Петровна оправилась от болезни. Разгневанная на Бестужева за его своеволие, императрица 27 февраля 1758 года лишила канцлера графского достоинства, чинов и знаков отличий. Виновником его падения был любимец наследника, камергер Брокдорф.
Алексей Петрович был удалён в принадлежащее ему село Горетово под Можайском Московской губернии. Его приговорили к смерти, но государыня заменила этот приговор ссылкой. Ссылка канцлера продолжалась до воцарения императрицы Екатерины II. Он был вызван в Петербург, и Екатерина возвратила опальному графское достоинство, чины, ордена и переименовала в генерал-фельдмаршалы. Кроме того, последовал высочайший указ, в котором была обнародована невинность Бестужева-Рюмина.
С 1741 по 1757 год Бестужев участвовал во всех дипломатических делах, договорах и конвенциях, которые Россия заключила с европейскими державами. В 1763 году он напечатал в Москве сочинённую им книжку «Утешение христианина в несчастии, или стихи, избранные из Священного Писания». Эту же книжку впоследствии Бестужев напечатал в Санкт-Петербурге, в Гамбурге и Стокгольме на французском, немецком и шведском языках. Переведена на латынь Гавриилом Кременецким.