Александр Гарнаев родился в городе Жуковский Московской области 1 сентября 1960 года в семье Героя Советского Союза Заслуженного лётчика-испытателя СССР Юрия Александровича Гарнаева. Его отец в 1967 году погиб при выполнении государственного задания во Франции.
С 1975 года Александр Гарнаев начал летать в Жуковском аэроклубе. В 1981 году с Золотой медалью окончил Армавирское высшее военное авиационное Краснознамённое училище лётчиков, после чего служил в Советской Армии до звания «капитан» на лётных должностях в строевом Гвардейском истребительном авиационном полку ВВС Московского военного округа (Кубинка). В 1985 году поступил в Школу лётчиков-испытателей Минавиапрома СССР (ШЛИ МАП), после окончания которой с июня 1987 года работал лётчиком-испытателем в ОКБ А. И. Микояна.
В 1989 году с отличием окончил факультет «Стрела» Московского авиационного института. В 1994 году был переведён на лётно-испытательную работу в Лётно-исследовательский институт (ЛИИ) имени М. М. Громова, где командовал отрядом лётчиков-испытателей. В 1998 году А. Ю. Гарнаев с отличием окончил Российскую академию государственной службы при Президенте Российской Федерации по специальности «государственное и муниципальное управление», в этой же академии в 2002 году он окончил аспирантуру и защитил диссертацию, получив учёную степень кандидата экономических наук.
За период лётно-испытательной работы в ОКБ А. И. Микояна проводил лётные испытания опытных самолётов МиГ-29М, МиГ-29К, МиГ-31Б/-31Д, на самолётах МиГ-23, МиГ-25, МиГ-27, МиГ-29, МиГ-31 проводил испытания по применению различных систем авиационного вооружения, опытных ракет. 13 августа 1991 года выполнил первый подъём опытного самолёта, ставшего впоследствии первым опытным экземпляром микояновского перспективного истребителя с отклоняемым вектором тяги. Провёл большой цикл испытаний опытного комплекса стратегического назначения "изд.07", успешно завершённый проведением зачётных боевых работ по орбитальным объектам.
С 1990 года выполнял различные спец. задания, сравнительные, совместные полёты по международным программам военно-технического сотрудничества на воздушный бой, методику лётных испытаний, в том числе на иностранных боевых самолётах на зарубежных военных и испытательных авиабазах в США, Франции, арабских и африканских странах, Юго-восточной Азии. Участвовал в многочисленных показах одиночного и группового пилотажа на самолётах МиГ-29, Су-27 и Су-30 на авиасалонах и авиашоу в России, странах СНГ, Европы, Азии, США.
В ЛИИ Александр Гарнаев командовал отрядом лётчиков-испытателей № 1 (выполнявшим лётные испытания высших категорий сложности, на «крайние режимы»), участвовал в испытаниях опытного самолёта Як-130, выполнял сверхдальние перелёты на СУ-30 в группе под руководством Героя России Заслуженного лётчика-испытателя СССР А. Н. Квочура с полётным временем более 10 часов с многочисленными дозаправками в воздухе днём и ночью, в том числе над океаном, в различных регионах - от заполярных до тропических широт, выполнял лётные исследования на экспериментальных летающих лабораториях, лётные эксперименты при расследовании авиационных происшествий.
Проводил значительную инструкторскую работу по подготовке лётно-испытательных кадров, а также на самолётах Су-27, Су-30, МиГ-29 в авиационных частях ВВС и ПВО: лидирование в обеспечение международных полётов смешанных групп, дозаправка в воздухе, воздушные бои, крайние режимы с маневрированием на малых (околонулевых) скоростях, предельных углах атаки.
В 2009 году окончил USA Airline Transport Pilot Academy (Trenton, NJ) и получил квалификацию FAA-ATPL, прошел полный курс обучения в Airbus Training Center (Toulouse, France), после чего работает командиром воздушного судна Airbus А-330 авиакомпании "Аэрофлот".
Александр Гарнаев - автор двух книг, а также большого количества научных и публицистических работ.