Родился 2 мая 1979 года в Мурманске. Играл за ярославское «Торпедо». Чемпион России 1997 года, бронзовый призёр 1998, 1999 годов. Всего в «Торпедо» провёл 130 матчей, заработал 44 очка (22+22). В составе молодёжной сборной России до 20 лет стал бронзовым призёром 1997 года (англ.)русск., серебряным призёром 1998 года и золотым медалистом 1999 года (капитан) чемпионатов мира.
Начал карьеру в НХЛ в «Даллас Старз» в сезоне 1999-2000. Финалист Кубка Стэнли 2000 года. 12 марта 2002 года вместе с Мартином Ручински (англ.)русск. был отправлен в «Нью-Йорк Рейнджерс» в обмен на Мэнни Малхотру и Барретта Хейстена (англ.)русск., где провёл оставшуюся часть сезона. На следующий год он сыграл лишь две игры с «Нью-Йорк Рейнджерс», большую же часть времени провёл в его фарм-клубе «Хартфорд Вулф Пэк». Всего за 138 матчей в НХЛ записал в актив 23 (14+9) очка.
Вице-чемпион мира 2002 года в составе национальной команды. По некоторой информации, агент Ляшенко вёл переговоры с тольяттинской «Ладой» и ярославским «Локомотивом» о продолжении карьеры в России.
7 июля 2003 года Роман Ляшенко был найден мёртвым в номере отеля в Анталье, где он отдыхал со своими матерью и сестрой. По официальной версии, сначала он пытался перерезать вены, а затем повесился. Была найдена предсмертная записка, в которой Роман якобы у кого-то просит прощения и где содержалось его признание о неизлечимой болезни. Однако врачи никаких заболеваний не обнаружили. Родные факт самоубийства не признали.
Похоронен на Леонтьевском кладбище Ярославля.