Александр Григорьевич был старшим из трёх сыновей в семье Григория Акинфиевича Демидова и Анастасии Павловны Суровцевой. Внук Акинфия Никитича Демидова. Кроме сыновей в семье росли ещё семь дочерей.
Отец Александра Григорьевича проявил себя как дальновидный человек. Доходы от заводов и соляных промыслов он инвестировал в образование и воспитание детей. Главным увлечением Григория Акинфиевича была ботаника. Демидов дал своим сыновьям отличное образование. В течение десяти лет они совершали научное путешествие по Европе, получая знания в различных отраслях. Александр Григорьевич учился в Гёттингенском университете, куда был зачислен 24 сентября 1751 года вместе с братьями Павлом и Петром. В Россию он вернулся в 1762 году.
После смерти отца в 1761 году братья совместно владели многочисленными заводами до 1 апреля 1765 года, когда «для лучшего в экономии наблюдения согласно и полюбовно» разделили наследство. Согласно этому разделу Александр Григорьевич унаследовал медеплавильные Суксунский, Бымовский. Ашапский, молотовой Шаквинский и Тульский (недействующий) заводы. В 1767 году он выкупил у среднего брата Павла Уткинский и строившийся Камбарский железные заводы, включая часть Высокогорского железного рудника. Позднее Демидов построил Тисовский и Молебский заводы, при нём подверглись реконструкции заводы Суксунского горнозаводского округа. Таким образом в руках Демидова сосредоточились многочисленные предприятия, а территория Суксунского округа составляла свыше 437 тысяч га земли, включая 200 тыс. десятин леса. (Демидовский временник. Исторический альманах. Кн. II. Екатеринбург, 2008. С. 242). От бездетного дяди Никиты Никитича Демидова Александру перешли заводы в Калужском уезде - Есенковский и Брынский (Демидовский временник. Исторический альманах. Кн. II. Екатеринбург, 2008. С. 242).
Заводами Александр управлял успешно, хотя ему пришлось столкнуться с неожиданными трудностями. Почти все заводы его и братьев были разорены пугачевскими отрядами. Только на одном Суксунском заводе, захваченном отрядом Салаватом Юлаевым 1 января 1774 года, было разграблено и уничтожено имущества на 105,3 тысячи рублей. Ашапский и принадлежавший Петру Демидову Бисертский заводы не действовали два года (Демидовский временник. Исторический альманах. Кн. II. Екатеринбург, 2008. С. 243).
В 1761 году Демидов приобретает имение Таицкую мызу, когда-то подаренную Петром I адмиралу Ивану Михайловичу Головину (1669-1738). Строительством дома в Тайцах занимался архитектор Иван Егорович Старов (1745-1808), женатый на Наталье Григорьевне Демидовой. Около 1798 года Александр Григорьевич становится хозяином села Петровское, где на его личные средства начинается строительство новой церкви из кирпича и мячковского известняка. Храм был достроен 1805 году его сыном Григорием.
Демидову принадлежали и дома, занимавшие всю правую сторону проезда от Мойки до Большой Мещанской (Казанской) улицы. В 1778 году при застройке образовался отдельный участок от Мойки до Екатерининского канала, который с 1796 года стал именоваться Демидовым переулком по имени владельца зданий.
Зная иностранные языки, Александр Григорьевич занимался литературными переводами. Ему же принадлежит «Перевод речи в память всерадостнейшаго рождения его императорскаго высочества благовернаго государя великаго князя Павла Петровича, говоренной на немецком языке, в Геттингском университете в большой аудитории, Александром Демидовым.»
А.Г. Демидов состоял на государственной службе, получив чин статского советника. В 1767 - 1769 годах он участвовал в работе Уложенной комиссии, а в 1774 г. Указом Екатерины Великой был назначен советником Берг-коллегии вместе с братьями Петром и Павлом.
Александр Григорьевич Демидов с супругой погребены на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры.