Клавдий Борисович Птица родился 21 января (3 февраля) 1911 в городе Пронске (ныне поселок городского типа, Рязанская область).
В Рязани Клавдий Птица учился в музыкальном техникуме (в настоящее время музыкальный колледж имени братьев Пироговых). В годы войны некоторое время преподавал в нём.
В 1937 году окончил Московскую консерваторию по классу Г. А. Дмитревского, в 1940 году - аспирантуру.
В 1936-1938 гг. - главный хормейстер Оперной студии Московской консерватории, в 1938-1941 гг. - хормейстер Московской филармонии. Был хормейстером Государственного хора русской песни (затем Государственный хор СССР, 1943-1946).
С 1950 по 1983 годы - художественный руководитель Большого хора Центрального телевидения и радиовещания. Осуществил более 20 оперных концертных постановок, исполнил большое количество кантатно-ораториальных сочинений русских и зарубежных композиторов, а также хоровых произведений советских композиторов-песенников.
В 1938-1941 гг. и с 1943 года преподает в Московской консерватории (с 1956 профессор, с 1960 года заведовал кафедрой хорового дирижирования). В 1946-1960 годах одновременно декан факультета хорового дирижирования Государственного музыкально-педагогического института им. Гнесиных. В 1947-1952 годах - заведующий отделом хорового дирижирования Музыкального училища им. Гнесиных.
Среди учеников Птицы: Н. Ветлугина, В. Балашов, Л. Григоров, Н. Добровольская, В. Живов, Л. Исханова, В. Краснощеков, Б. Куликов, А. Осипов, Г. Рождественская, Е. Сидорова и др.
Опубликовал ряд книг и статей, в том числе «Очерки по технике дирижирования хором» (1948) и «Мастера хорового искусства в Московской консерватории» (1970); ценность представляют, в частности, его воспоминания о Самуиле Самосуде и Александре Гауке. В 1994 году избранные статьи и интервью Птицы составили сборник «О музыке и музыкантах».
Председатель Хорового общества Москвы (с 1959). Заместитель председателя Всероссийского хорового общества (с 1958).
Похоронен на Кунцевском кладбище.