Родился 3 сентября 1978 года на Сахалине. Отец - журналист Игорь Коц, в 2003-2013 годах главный редактор и гендиректор издания «Советский спорт». Спустя месяц после рождения, семья Александра переехала на материк в Хабаровск. Поступил в школу, затем продолжил обучение во Владивостоке.
В 1993 году переехал в Москву, где закончил среднюю школу и поступил в институт. Однако учёбу пришлось прервать. После двух лет службы в Воздушно-десантных войсках России продолжил обучение.
С 1999 года работает корреспондентом «Комсомольской правды», став специальным корреспондентом отдела политики. Отвечает за освещение военных конфликтов, природных стихий и других катаклизмов в России и в других странах, берёт интервью у видных политических деятелей, ведёт передачи на радио и телеканале «Комсомольская правда».
В качестве военного корреспондента освещал события в Косово (2000, 2008 и 2011 годы), Афганистане (2006 год), республиках Северного Кавказа (более 30 командировок с 2000 по 2012 год), Египте (январь-февраль 2011), Ливии (несколько командировок в течение 2011 года) в Сирии (несколько командировок в 2012 году) и на Украине (2014).
9 мая 2004 года, когда в результате теракта на стадионе в Грозном был убит президент Чеченской республики Ахмат Кадыров, Александр Коц был контужен.
В сентябре 2004 года во время командировки в Беслан участвовал вместе с сотрудниками российских спецслужб в эвакуации детей-заложников из захваченной террористами школы. Журналист были представлен к государственной награде «за участие в спасении детей из Бесланской школы, за помощь в расследовании трагедии», но отказался от награды.
Вместе с журналистом Дмитрием Стешиным готовил материал к 20-летию аварии на Чернобыльской АЭС, прожив несколько дней в брошенном городе Припять.
В июне 2006 года вместе с другими журналистами освещал в Феодосии (Крым) акции местного населения против НАТО и американо-украинских учений. При этом и сам активно выражал протест против присутствия в Крыму войск НАТО, приняв участие в водружении флага Российской Федерации на крыше здания военного санатория Министерства обороны Украины в Евпатории.
9 августа 2008 года Александр Коц был направлен в Цхинвал (Южная Осетия) для освещения событий грузино-южноосетинского конфликта. Вместе с колонной мотострелкового батальона 58-й армии, ехавшей в Цхинвал на помощь российским миротворцам, попал в засаду. Во время боя Александр Коц продолжал исполнять свой журналистский долг, снимал происходящее на видеокамеру и готовил репортаж в номер. Получил тяжёлое ранение в правую руку, но уже на следующий день из полевого госпиталя МЧС под Владикавказом передал свой репортаж. От гибели Александра и других журналистов спасли решительные действия майора Д. В. Ветчинова (Герой Российской Федерации посмертно). За командировку в Южную Осетию Александр Коц был награждён медалью «За отвагу» (16 января 2009).
В 2010 году передавал репортажи из собора Порт-о-Пренса на Гаити, разрушенного землетрясением.
В ходе «арабской весны», в апреле 2011 года, освещая гражданскую войну в Ливии, вместе со своим коллегой Дмитрием Стешиным и тремя журналистами российского телеканала НТВ был взят в плен повстанцами. Репортёры были обвинены в том, что они в качестве разведчиков работают на режим Муамара Каддафи. Однако благодаря оперативному вмешательству главы МИД России Сергея Лаврова и спецпредставителя РФ при НАТО Дмитрия Рогозина, все репортёры были освобождены с помощью итальянских военных, дислоцировавшихся на аэродроме Бенгази.
С декабря 2013 по май 2014 года Александр Коц вместе с Дмитрием Стешиным работали на Украине, в частности, в районе боевых действий в Славянске (Донецкая область). По некоторым сведениям, за «объективность освещения событий в Крыму» награждён медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (21 апреля 2014). А СБУ закрыла для него въезд на территорию Украины на пять лет. Несмотря на запрет, продолжает свою работу на Украине.
За годы работы Александр Коц выработал свой собственный публицистический стиль. Лёгкая ирония Александра, прошедшего через много «горячих точек», обычно представляет его репортажи о войне в таком свете, что читателю уже не страшно. В коллективе «Комсомольской правды» его ценят как мужественного, принципиального, объективного, исполнительного и профессионального журналиста.
В то же время существуют и другие мнения об Александре Коце и его коллеге Дмитрии Стешине. В их материалах ранее находили националистические и ксенофобские мотивы. В частности, это касалось публикаций, посвященных Кавказу.