Происходил из старого московского купеческого рода.
Первоначальное воспитание получил в Немецком церковном училище при Михайловской лютеранской церкви. Сдав экстерном экзамены за гимназический курс во 2-й Московской гимназии (1868), он в 1869 году поступил на юридический факультет Московского университета.
Окончив курс со степенью кандидата, А. С. Алексеев был оставлен на кафедре государственного права для подготовки к профессорскому званию; слушал лекции Цёпфеля, Блюнчли и Куно Фишера в Гейдельберге и О. Мейера в Гёттингене. В 1876 году, вернувшись в Москву, выдержал экзамен на степень магистра и вновь был командирован за границу, где в продолжение трёх лет слушал лекции в Париже, Мюнхене, Гёттингене и Страсбурге.
По возвращении в Москву, в 1879 году, А. С. Алексеев начал читать в Московском университете лекции по истории политических учений; в марте 1880 года получил степень магистра, защитив диссертацию «Макиавелли, как политический мыслитель» (М., 1880) и получил звание приват-доцента; уже в 1884 году утверждён в должности экстраординарного профессора.
В 1884 году был командирован за границу на год для работы над докторской диссертацией и, живя в Женеве и Невшателе, собрал материал для своего сочинения «Этюды о Ж. Ж. Руссо» (1887), составившем ценный вклад в отечественную литературу государственного права. В этом исследовании он показал политическую обстановку, в которой вырос и жил Руссо, ракрыл истоки его мировоззрения, чувств и мыслей и пришёл к выводу, что в «Contract social» («Общественном договоре») Руссо «лишь обобщил принципы, к которым до него уже пришли его соотечественники и которые были в Женеве общим достоянием всех ревнителей народной свободы».
А. С. Алексеев помещал статьи по своей специальности в журналах «Русский вестник» 1877 г. и в «Юридический вестник» за 1879-1886 гг.
В 1890 году он был назначен ординарным профессором московского университета по кафедре государственного права.
В 1900-1909 годах он был деканом юридического факультета. В 1905 году ему было присвоено звание заслуженного профессора московского университета.
С 1910 года возглавил юридическое общество при московском университете.
В 1911 году покинул университет в связи с делом Кассо.
В 1896-1906 годах А. С. Алексеев был директором Московской практической академии коммерческих наук, читал там курс основ государственного права; при его активном участии был выработан очередной устав академии.
А. С. Алексеев скончался и похоронен в Москве.