А.В. Зинкевич начал играть в хоккей с мячом в детской команде онежской «Чайка» в 1977 году. С 1979 года - в юношеской команде красногорского «Зоркого».
С 1981 года выступает за главную команду, выступающую в высшей лиге.
В 1983 году переезжает в Новодвинск. А с 1985 года становится игроком архангельского «Водника», в составе которого выигрывает несколько командных трофеев.
В 1993 году выезжает в Швецию. Выступает в «Эдсбюне» и «Скутшерсе».
В 1991 году привлекался в сборную СССР на чемпионат мира 1991 года, но на лёд не выходил.
В 2003 году становится бронзовым призёром чемпионата мира в составе сборной Казахстана. Был удостоен звания мастер спорта Республики Казахстан международного класса.
В 2002-2005 годах - главный тренер клуба «Скутшерс». В 2005-2007 - главный тренер «Бруберга». С июля 2008 года по апрель 2010 года тренировал архангельский клуб «Водник».