Андрей Андреевич Арендт родился в Симферополе 6 (18) ноября 1890 г. в семье известных врачей.
В 1909 г. окончил Симферопольскую мужскую гимназию и поступает на медицинский факультет Харьковского университета.
В 1915 г. получает звание лекаря. Работает в ординатуре факультетской хирургической клиники у профессора Н. П. Тринклера. По окончании Гражданской войны возвращается в Симферополь.
В 1921-1926 гг. работает старшим ассистентом госпитальной хирургической клиники Таврического университета у профессора М. М. Дитерихса.
В 1927 г. А. А. Арендт переезжает в Москву.
В 1928 г. начинает работать научным сотрудником госпитальной хирургической клиники Московского университета у профессора Н. Н. Бурденко.
В 1929 г. Н. Н. Бурденко и невролог Василий Крамер организуют при Государственном Рентгеновском институте 40-коечное нейрохирургическое отделение, преобразованное в 1932 г. в Центральный нейрохирургический институт, который получил в 1934 г. отдельное помещение на 300 коек. Вся дальнейшая карьера А. А. Арендта была связана с этим учреждением. Начав с должности научного сотрудника, он становится затем заведующим отделением, главным врачом и заместителем директора по научной работе.
В 1937 г. ему присуждается ученая степень кандидата медицинских наук (без защиты диссертации).
В 1938 г. основана кафедры нейрохирургии ЦИУ и А. А. Арендт совмещает лечебную работу с преподавательской деятельностью.
В 1941-1942 гг. А. А. Арендт работал ведущим хирургом тылового госпиталя на 1000 коек в Казани.
С 1943 г. доцент кафедры нейрохирургии ЦИУ.
C 1946 г. и до конца жизни - заведующий кафедрой нейрохирургии ЦИУ. В этом же году защищает докторскую диссертацию «Гидроцефалия и ее хирургическое лечение» (единственная монография). В её основу положен анализ 92-х оперированных случаев водянки, преимущественно у детей и подростков. Им была предложена оригинальная классификация гидроцефалии, в которой автор «стремился исчерпать все имеющиеся ее формы и в то же время подчеркнуть частоту смешанных форм водянки, когда нарушение циркуляции сочетается с нарушением резорбции ликвора».
В 1947 г. он одним из первых среди сотрудников Института нейрохирургии получил звание профессора по специальности «нейрохирургия».
В 1951 г. А. А. Арендт становится заместителем редактора журнала «Вопросы нейрохирургии».
В 1956 г. избран председателем научного общества нейрохирургов Москвы и Московской области.
Умер 3 мая 1965 года от рака желудка, похоронен на Новодевичьем кладбище.